Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отражающих зеркал. Таким образом,
dxjdt = GN х - хх. (2.2.4)
Но с испусканием фотонов число возбужденных атомов убывает, поэтому мы
можем записать N = N0 - ах, где No - число возбуждаемых накачкой (в
единицу времени) атомов, а - коэффициент, как и прежде связанный с
восприимчивостью активной среды. Тогда из (2.2.4) получаем уравнение
х = G (Nо - ах) х - тх,
или
ж == -/Ci-v - /с2л:2, (2.2.5)
где К\=х- GNo и /С2 = Gа. Коэффициент /(2 всегда положителен. Мы
различаем два случая:
1) К\ > 0, или GNo < т, слабая накачка;
2) К\ ^ 0, или GN0 ^ т, сильная накачка.
Заметим, что наше динамическое уравнение (2.2.5) очень похоже на
уравнение (2.2.2) из предыдущего примера: различие состоит в том, что на
нашу систему действует восстанавливающая сила с квадратичной
нелинейностью вместо кубической. Следовательно, мы можем забыть на время
о лазере (следя, однако, за тем, чтобы х был положительным целым числом)
и предположить, что мы имеем частицу, мгновенное отклонение которой от
состояния равновесия х(^) определяется потенциальной ямой
V (х) = -^-/С)Х2 -f -^-К2х3. (2.2.6)
При К\ > 0 потенциальная яма имеет форму, показанную на рис. 2.7, и
единственное устойчивое стационарное состояние х = 0. В нашем примере это
означает, что после затухания переходных процессов стационарное число
фотонов (т. е. число когерентных фотонов, см. ниже) в полости равно нулю.
(Такое устройство ведет себя как обычная осветительная лампа.) Но когда
мощность накачки превосходит некоторый порог Gc = x/Nо, возникает
неравенство К\ ^ 0 и потенциальная яма принимает такой вид, как показано
на рис. 2.8, поэтому существует устойчивое стационарное состояние с х Ф
0: х* - \К\\/К.2, где устройство ведет себя как когерентный источник
излучения. Для полноты мы приведем ниже операционное определение
когерентности, которое понадобится нам в гл. 3 и 4.
Нелинейная динамика и статистическая физика
33
Первоначально под "когерентной волной" мы понимаем волну вида ехр[/(м^ -
ф)], где фаза <р постоянна или остается ограниченной относительно
некоторой данной системы отсчета (например, относительно фазы локального
осциллятора приемника). В некогерентной волне фаза ф флуктуирует
случайным образом.
Существенное различие между этими двумя типами волн определяется тем,
каким образом энергия суммы нескольких
Рис. 2.7. Потенциал (7CiJc2/2) -J- (/Сг-^3/3) при К\ > 0. Рис. 2.8.
Потенциал (К[Х2/2)-Ь(КгХ3/3) при К\ ^ 0.
осцилляторов зависит от энергии отдельных осцилляторов - слагаемых.
Например, если интерферируют две (созданные человеком) радиоволны с
равными амплитудами, то суммарная плотность энергии может быть любой от
нуля (если волны находятся в противофазе) до четырехкратной плотности
энергии каждой волны (если обе волны находятся в фазе). Два некогерентных
источника равной мощности всегда создают удвоенную интенсивность (квадрат
амплитуды) по сравнению с каждым источником; если п независимых
осцилляторов с единичной амплитудой интерферируют в некоторой точке
пространства, то суммарная плотность энергии пропорциональна
W
=
1 = 1
П
i=i
,/Фг
или
( п \2 , п \2 п(п-1)/2
w ~ Z cos Ф{J +1^ Y sin Фг J = п + 2 Y cos (ф2 - ф7).
Пусть ф,- - фj = е0, тогда
п (л-1)/2
W ~ п + Y cos е0.
а=1
(2.2.7)
34
Глава 2
Рассмотрим два предельных случая - полной когерентности и полной
некогерентности.
1) Если все ф,¦ равны, т. е. если все осцилляторы находятся в фазе, то еа
= 0 при всех о и W = п + (п - 1) п = /г2.
2) Пусть теперь отдельные фазы случайны, независимы и равномерно
распределены на интервале от -я до -f-я. Как распределена величина еа =
фг - Ф/? В теории вероятности доказывается, что если мы имеем переменные
xit х/, равномерно распределенные на интервале от а до b (рис. 2.9), то
плотность
!>(*]}
JL ь~а
aSxji Ь
Рис. 2.9. Функции плотности вероятности (a) p(xi) и (б) p(Xi - xf).
вероятности их разности на интервале (2а,2Ь) имеет так называемое
распределение Симпсона. Таким образом, если ф? распределены равномерно на
интервале от -я до -f-я, то можно ожидать, что величина еа имеет
распределение Симпсона на интервале от -2л до +2я. Но в силу
периодичности cos в/ это полностью эквивалентно равномерному
распределению на интервале от -я до -f-я, так как плотности вероятности
на любых других интервалах от тя до (т + 2) я, где т - любое целое число,
добавляются к плотностям вероятности на базисном интервале (-я, -f-л) или
на любом другом выбранном базисном интервале длиной 2я. Таким образом,
усредняя W в (2.2.7), получаем
/ л (га-1) \ 2я
^ cos еЛ = п-п -¦ ^ cos ede = n. (2.2.8)
' о=1 ' о
Итак, мы можем утверждать, что если фазы всех п осцилляторов равны, то
суммарная плотность энергии пропорциональна квадрату числа осцилляторов
п2 (когерентность). Если же фазы осцилляторов случайны и равномерно
распределены на некото-
Нелинейная динамика и статистическая физика
35
ром интервале длиной 2я, то суммарная плотность энергии пропорциональна
числу осцилляторов п (некогерентность). Таким образом, если из 100
