Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
взаимосвязаны. ("Чикаго" - трехсложное слово и город.)
Здесь уместно повторить еще раз то, о чем мы упоминали в разд. 2.3.1,
говоря о тех условиях, когда приближение среднего поля становится
неприменимым. Рассмотрим физическую динамическую систему, сведенную к
одномерному отображению.
414
Глава 6
Вероятность найти эту систему в точке х в момент времени t возрастает из-
за переходов из других точек х' интервала и убывает из-за переходов из
точки х в другие точки, т. е.
Р (х; t) = скорость прихода - скорость ухода - (/) - (О).
(6.5.15)
Так как член (/) включает в себя все переходы из начальных
точек х' в точку х, он представим в виде суммы по всем
началь-
ным точкам.
Каждое слагаемое этой суммы есть вероятность найти систему в точке х',
умноженная на вероятность перехода в единицу времени из точки х' в х, т.
е.
(/)= S w(x, х')Р(х'- 0, (6.5.16).
.х'
где w(x,x') -вероятность перехода х'-+х.
Для переходов из точки х- члена (О) -получаем
(0) = Я(х; t) ? w(x', х), (6.5.17)
Х'фХ
где w(x',x)-вероятность перехода х-^-х'. (Вероятности перехода, о которых
здесь идет речь, являются функциями значений, принимаемых производной
отображения в точках х, х'.)
"Основное" уравнение принимает вид
dP<dt' = X! w х')р(х''' t) - P(x\ t) Yj w(x'< x)• (6.5.18)
x' Х'фХ
"Стационарные состояния" или "стационарные" асимптотические решения этого
уравнения мы исследовали в (6.5.7). Решающее значение имеет то
обстоятельство, что вероятности перехода (обычно неизвестные) в
большинстве случаев являются нелинейными функциями от х, так как
зависимость производной (углового коэффициента касательной) отображения
от точки может быть сильно нелинейной. [Например, в химических реакциях
скорости, по закону действия масс, пропорциональны концентрациям
"реагирующих веществ", иначе говоря, числу способов, которыми пара или
группа "взаимодействующих молекул" может быть выбрана из общей популяции.
Например, для реакции 2Х-+Х' скорость пропорциональна (х/2) (х-1), т. е.
уравнение для "средних" имеет вид d(x')/dt =-К{х(х-1)).]
Умножая обе части уравнения (6.5.18) на х, х2, ... и интегрируя или
суммируя по отрезку оси х, мы получаем серию "феноменологических"
макроскопических уравнений для различных
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
415
моментов <х>, <6х2>, ... функции плотности вероятности P(x,t), а именно
-^•<*> = М<А (б*2),
d (6-5.19)
= (6х2), ...},
Из-за нелинейности операторов /; (обусловленной нелинейностью
вероятностей перехода) мы получаем очень большое (бесконечно большое)
число связанных нелинейных дифференциальных уравнений относительно
моментов и кросс-моментов (кросс-корреляций). Кроме того, в окрестности
бифуркаций или незатухающего хаоса, заполняющего целый интервал, эти
моменты могут стать сравнимыми по величине.
Таким образом, мы весьма ясно видим, при каких условиях последовательные
иерархические уровни становятся неразличимыми, т. е. выполняется
необходимая предпосылка возникновения парадокса ссылки на себя и "тупика"
в работе лингвистического процессора.
6.6. Комментарии по поводу влияния внутренних флуктуаций и внешнего шума
на свойства устойчивости динамических систем
До сих пор мы рассматривали детерминистические нелинейные динамические
системы. Стохастичность, обнаруживаемую в поведении некоторых из них, мы
относили за счет внутреннего шума, усиленного каскадом бифуркаций и
итераций странного аттрактора. В тех случаях, когда внутренними
флуктуациями нельзя пренебречь и невозможно исключить их из среднего
поведения (см. предыдущий раздел), т. е. когда возникает необходимость
учета внутренних флуктуаций, динамическую систему невозможно моделировать
системой связанных нелинейных дифференциальных уравнений с
детерминистическими значениями переменных и/или параметров.
В этом случае необходимо обратиться к формализму "основного" уравнения
или уравнения Фоккера-Планка и выразить решение (функцию плотности
вероятности) в терминах "стохастического" потенциала - в отличие от
"детерминистического" потенциала, который мы использовали при
рассмотрении простых примеров в гл. 2 (разд. 2.2.3 и далее). Если
проделать: сказанное и исследовать стохастический аналог, например,
простого нелинейного осциллятора с сильным затуханием (подробности см. в
работах [6.33, 6.34]), то результат будет весьма интересным: оказывается,
что стохастический потенциал не
416
Глава 6
совпадает с детерминистическим потенциалом, который содержит квадратичную
форму
V (х) = ±ах2 (6.5.20)
но помимо нее содержит также нечетный кубический член, делающих потенциал
асимметричным после бифуркации: две его впадины имеют неодинаковую
глубину. Вследствие этой асимметрии система после бифуркации получает
свободу выбора из двух различных и неравновероятных альтернатив.
Возможность предпочтительного перехода в одно из многих последующих
состояний, обусловленная бифуркацией,- проблема, которую мы не в силах
разрешить, если речь идет о явном вычислении вероятностей перехода.
