Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разрешение ухудшается) и сжимается (что сопровождается диссипацией и,
следовательно, появлением новой информации), когда объем,
11 Точнее говоря, в направлении с положительным показателем Ляпунова
траектории системы разбегаются и тем самым порождают разнообразие; в
направлении с отрицательным показателем Ляпунова система ограничивает,
разнообразие, тем самым порождая информацию.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
393
занимаемый потоком в фазовом пространстве, стягивается к "компактному"
эргодическому потоку - аттрактору. Точнее говоря, при значениях
управляющих параметров, не связанных с возникновением хаоса, информация
порождается физической системой через каскад бифуркаций, приводящих к
нарушению
V Hi(r)
птптмпг
КОГНИТИВНЫЕ! уровоиь Перенос I | Управ коллемгивных) свойств
символьное
х-описание
ТТТТГИТТ
/ /¦ ы2
П i'i ITTTTTl-T'I'.I.'Mll'l'rHTi Когнитивиыг у ;: о ею н ь I
Уровне
\/ Перенос i | Управ^ } обработки
Нос
пение УЧ KonneKTi супре>к-,Х V свойств дением
HOC А |
ИТНЫУ | 1
'ТА 1 '
I
/
темпе \ информации с у л ре ж - -дением
Симвопьно у-огилса н \к
тттгтттпимшттгт
F,t
Трехмерный
странный
аттрактор
' Континуалы-трехмерная нелинейная динамика
t I
9 Один генератор ван дер Поля с вынуждающее силой
Одномерное 1 отображение \ ^ у на отрезке О 1 I Отобра-
Пуанкаре
QXXV ' свозвра-* V v / щением
K'oHTHHva трехмерная Нелинейная динамика
Один генератор ван дер Поля с вынуждающей силой
¦/
Уровни
машинного
обеспечения
у
' p(v)dv
Рис. 6.30. Примерный вид простой схемы связей между двумя
"лингвистическими" иерархическими системами. Характерная динамика на
уровнях математического и машинного обеспечения обозначена соответственно
S и Я.
симметрии. При значениях управляющих параметров, которые соответствуют
рождению апериодических траекторий, информация порождается (или
утрачивается) через каскад итераций отображения (одномерного) на отрезке,
которое строится как отображение Пуанкаре нашего аттрактора.
Такого рода переход от "аналогового", непрерывного, к "цифровому",
дискретному, описанию осуществляется с помощью параметризации аттрактора
вдоль одномерного разреза и построения графика зависимости координаты
следующего места
394
Глава 6
пересечения траектории с разрезом от координаты места предыдущего
пересечения. Мы получаем как бы "стробоскопическую" картину пересечений
траектории плоскости сечения потока в (трехмерном) пространстве
состояний. Возникает марковская цепь с числом состояний, зависящим от
разбиения интервала [0,1] (рис. 6.31, 6.32).
Рис. 6.31. Проекция трехмерного странного аттрактора на плоскость.
Рис. 6.32, Одномерное отображение Пуанкаре для трехмерного странного
аттрактора.
Приращение наблюдаемой информации обычно определяется логарифмом по
основанию 2 отношения числа состояний 2, различимых до и после некоторого
временного интервала:
V,
А/ = log2
log2'
__f_
V,
(6.5.1)
где V; и Vi - конечный и начальный объемы в пространстве состояний.
Соответственно скорость производства (или утраты) информации задается
соотношением
dl I dV 1 rfS ,д - 0,
- ----------------- чг. (6.5.2)
dt
V dt
Число различимых состояний 2(?), возникающих из некоторого начального
объема в пространстве состояний, разумеется, не обязательно должно быть
прямо пропорционально изменению объема, вызванному потоком.
Предположим, что число состояний, в которых может находиться система,
растет со временем (а) полиномиально и (б) экспоненциально.
В первом случае
Z(f)~f" (6.5.3)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
395
скорость производства информации в такой системе со временем стремится к
нулю, поэтому поведение системы предсказуемо (сжимаемо) на протяжении
бесконечно большого временного интервала в будущем.
Во втором случае
такая система является непрерывным источником информации. •Однако эта
информация не содержится неявно в начальных условиях, какими бы они не
были, а порождается самим потоком в пространстве состояний. Информация
такого типа несжимаема, и обработка ее может выходить за рамки
возможностей современных компьютеров Д Нас интересуют здесь
неконсервативные компактные потоки, в которых может наблюдаться
притяжение (стационарные состояния, предельные циклы или странные
аттракторы).
Если размерность пространства состояний не меньше трех, то даже очень
простые физические системы, например генератор с отрицательным
сопротивлением и вынуждающей силой (исследованный недавно Уэдой и Акамацу
[6.12] и моделируемый осциллятором ван дер Поля с периодическим
возбуждением) могут порождать потоки, которые в компактной области
пространства состояний непрерывно расширяют объемы по одним направлениям
и сжимают их по другим направлениям. Это означает, что такие системы
порождают информацию по одним переменным и сжимают или утрачивают ее по
другим переменным.
Для любого данного одномерного отображения у = F(х) на интервале
плотность вероятности Р(х) найти орбиту в точке х можно оценить через
