Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 141

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 187 >> Следующая

(6.4.39), получаем
П
0
После п итераций
Г)
(6.4.39)
(6.4.40)
или после логарифмирования
1 , , 10g2 7,1
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
379
Формула (6.4.41) справедлива для двумерных отображений, однако она
допускает обобщение на более высокие размерности. Величину dL можно
назвать размерностью Ляпунова. Возникает вопрос: как dL связана с
информационной размер-
ностью?
Ясно, что размерность Ляпунова совпадает с фрактальной размерностью. В
приведенном выше выводе формулы (6.4.41) мы предполагали, что все
квадраты в разбиении равновероятны. Заметим, что числа Ляпунова - средние
величины, а для того,, чтобы вычислить среднее, каждый элемент разбиения
надлежит взять с весом, соответствующим вероятности данного элемента, т.
е. его измерений. Для того, чтобы мы могли продвинуться дальше, нам
необходимо рассмотреть какой-нибудь конкретный (но, как мы надеемся,
представительный) пример двумерного отображения. Следуя опять Фармеру и
др. [6.17], выберем в качестве такого примера преобразование пекаря 1>"
которое определяется следующим образом:
где 0 ^ x,i 1, 0 <1 уп ^ 1. При выводе информационной размерности из
показателей Ляпунова отображения пекаря мы заранее знаем о возможном
самоподобии, проявляющемся все более отчетливо с увеличением числа
итераций отображения. Поэтому представляет интерес выяснить, какой
алгоритм содержат неявно соотношения (6.4.42).
Начнем с единичного квадрата. Выберем кь > ка и а, ка, кь 7г. Отображение
пекаря делит единичный квадрат на две горизонтальные полосы высотой а и 1
- а (рис. 6.28). Затем оно сжимает эти полосы в горизонтальном
направлении до тех пор, пока ширина нижней полосы не станет равной ка, а
ширина верхней - кь, после чего растягивает обе полосы в вертикальном
направлении до тех пор, пока высота каждой полосы не
!) В литературе неоднократно высказывалось мнение о том, что
диссипативное преобразование пекаря можно при некоторых условиях
рассматривать как двумерное отображение Пуанкаре, порождаемое аттрактором
Лоренца. (Гиперболические отображения с точкой возврата ("острием")
являются одномерными отображениями Пуанкаре того же аттрактора.) Выражаю
свою признательность д-ру Г. Майер-Крессу, обратившему на это мое
внимание.
и
(6.4.42)
а Уп
- при уп > а.
при уп < а,
380
Глава 6
станет равной единице. Наконец, преобразование пекаря оставляет нижнюю
полосу на месте, а верхнюю ставит на ось х
Рис. 6.28. Пример первой итерации асимметричного преобразования пекаря.
(По работе [6.17].)
так, что основание полосы занимает отрезок от х=1/2 до х=*(1/2) + Кь.

2
1
Рис. 6.29. Вторая итерация примера преобразования пекаря, изображенного
на рис. 6.28.
Применяя отображение пекаря к единичному квадрату дважды, мы получаем
конфигурацию, изображенную на рис. 6.29.
Отчетливо видно, что если интервал [0, ta] на оси х увеличить в 1 До раз,
то мы получим копию предыдущей (первой)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
381
итерации. Аналогично, если интервал [1/2, (1/2) + Я,й] на оси х увеличить
в 1Д* раз, то мы также получим копию предыдущей итерации. Следовательно,
отображение пекаря обладает свойством самоподобия.
Из структуры соотношений, задающих преобразование пекаря, видно, что
покрытие вдоль оси у эргодично в интервале [О, 1J. Якобиан системы
диагоналей и зависит только от у, т. е.
где
(6.4.43)
Следовательно, числа Ляпунова определяются соотношениями
А, = lim [1{ {уп) 1[ {уп-i) ¦ ¦ ¦ Ii(yi)]lln (6.4.44)
П-> оо
и
к2 = lim [I2(yn)h(yn.-i) ¦ ¦ ¦ h{y\)]Un¦ (6.4.45)
П-> ОО
Элементы 1{ принимают только два значения: 1/а при у < а и 1/(1-а) при у
> а; аналогично, элементы /2 принимают только два значения: Ха при у <.а,
уь при у >а.
Таким образом, показатели Ляпунова для отображения пекаря равны
log2 h = a log2 la + (1 - a) log2 К (6.4.46)
и
log2 A, = a logs К + (1 - a) logs (ттгт) ' (6.4.47)
где при выводе формул мы учли, что вероятность, или асимптотическое
значение доли времени, которую система проводит в части у < а, равна
просто а, а вероятность пребывания системы в части у > а равна 1 - а (из-
за эргодического характера орбиты в направлении оси у).
Полагая
S (а) = a logs + (1 - fl)log2(T^rj) (6.4.48)
382
Глава 6
и учитывая выведенное выше выражение
^='+т|гП7йг <6-4'4"
мы, наконец, получаем размерность Ляпунова для двумерного отображения
пекаря:
dL = 1+----------, -(а)-------г-пг- (6.4.49)
aIog2(i) + (1"a)Iogj Ш
Здесь уместно напомнить, что в двумерном пространстве наш аттрактор
представляет собой прямое произведение множества канторовского типа вдоль
оси х и интервала [0, 1] вдоль оси у. Поэтому информационная размерность
в этом случае равна
DI = l + D'I, (6.4.50)
где D'j - информационная размерность вдоль оси .г. Для дальнейшего
исследования соотношения между полученным выше результатом и
информационной размерностью преобразования пекаря Фармер и др. [6.17]
поступили следующим образом. Информация 1(e) вдоль оси х возникает по
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed