Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 140

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 187 >> Следующая

6(0). Поскольку во времени шар изменяется под действием неоднородного
потока, он в конце концов деформируется. Так как по предположению мы
рассматриваем бесконечно малый элемент пространства состояний, изменение
формы шара определяется только линейной частью потока, и в процессе
эволюции во времени он сохраняет форму эллипсоида.
Пусть 6;(f) -i-й элемент множества главных осей эллипсоида в момент
времени t. Спектр показателей Ляпунова Яг при заданной исходной позиции
определяется соотношением
В спектре аттрактора ./V-мерной динамической системы существуют N
показателей Ляпунова. Положительные показатели Ляпунова служат мерой
среднего экспоненциального разбегания соседних траекторий, а
отрицательные показатели Ляпунова - мерой средней экспоненциальной
сходимости траекторий к аттрактору. Сумма показателей Ляпунова есть
средняя дивергенция потока, которая для диссипативной системы (обладающей
аттрактором) всегда должна быть отрицательной. (Для гамильтоновых систем
дивергенция равна нулю.) Как показывают численные примеры, у некоторых
диссипативных систем показатели Ляпунова инвариантны относительно всех
перепробованных начальных условий. Если это так, то спектр показателей
Ляпунова можно считать свойством аттрактора.
Обычно показатели Ляпунова принято располагать в порядке убывания.
Например, символы (+, 0, -) означают, что у некоторого аттрактора в
трехмерном пространстве состояний (в среднем) вдоль одного направления
(назовем его направлением х) происходит экспоненциальное растяжение,
вдоль другого направления (назовем его направлением у) поток обладает
нейтральной устойчивостью и вдоль третьего направления z траектории
претерпевают экспоненциальное сжатие. Важно отметить, что у аттракторов,
отличных от устойчивых стационарных состояний, всегда имеется по крайней
мере один показатель Ляпунова, равный нулю, так как в среднем точки на
траектории
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
377
ограничены компактным множеством и не могут ни расходиться особенно
далеко, ни скапливаться. Таким образом, в диссипативной системе
выполняется неравенство |Я_| > |А,+ |.
Рассмотрим теперь отображение xn+l - F(хп) в аттракторе, где х - д-мерный
вектор. Из приведенного выше определения следует, что показатели Ляпунова
дискретной системы связаны с собственными числами матрицы Якоби
отображения (в случае устойчивого стационарного состояния показатели
Ляпунова являются вещественными частями матрицы взаимодействия).
Придадим этому утверждению точный смысл. Пусть
Jn = J (хп) ' J (хп-\) ••• Цх j), (6.4.35)
где
dF
J ухп) = ^
Тогда
х\ 2 ХП х~х0
где xi = Р^Цхо). Мы воспользовались здесь тем известным фактом, что
производная л-й итерации отображения в некоторой точке А'о равна
произведению производных исходного отображения в образах точки х0 под
действием итераций: х,, х2, . . . хп.
Пусть ста (п) ^ 02 (п) ^ ... ^ ор(п)-величины собственных
значений матрицы /". Тогда "числа Ляпунова" равны
А; = lim [сгг(л)]1/л, i= 1, 2, ..., р, (6.4.37)
/Х-> ОО
где под [. . .]1/п следует понимать вещественный положительный корень л-й
степени. Показатели Ляпунова мы получим, взяв log от Xi. В одномерном
случае такое определение совпадает с результатом, полученным в разд.
6.3.3, если воспользоваться предложенным выше алгоритмом, а именно
определением показателя Ляпунова
П
• <6А38>
Я-"оо а гН " и* U, i = l *
Приведем теперь пример двумерного отображения и попытаемся вывести из
него на эвристическом уровне строгости
378
Глава 6
соотношение между спектром показателей Ляпунова и информационной
размерностью. Пусть для двумерного отображения 7ц, %2 - средние
коэффициенты деформации бесконечно малого кругового диска радиуса б (рис.
6.27).
Так как система дискретна, пусть показатель Ляпунова, при котором
происходит разбегание точек, соответствует 7,i > 1, а показатель
Ляпунова, при котором точки стягиваются вместе,
Рис. 6.27. Пояснение действия ляпуновских показателей на двумерную
систему.
соответствует Т,2 < 1- После п итераций двумерного отображения начальный
небольшой круг радиуса б трансформируется в эллипс с большой полуосью
6(7,0" и малой полуосью 6(7,2)". Попытаемся, следуя [6.17], связать этот
спектр показателей Ляпунова с информационной размерностью отображения.
Начнем, как обычно, с покрытия двумерного аттрактора квадратами со
стороной е (их п(г)). Проитерируем наше отображение \ раз. При достаточно
малом е (высокое разрешение) действие отображения практически линейно на
каждом квадрате, поэтому каждый элемент разбиения вытягивается в
параллелограмм. Средние размеры таких параллелограммов 7,1 е в длину и
7,|е в ширину (7,1 >Т,2). Предположим, что мы увеличиваем разрешение
(делая разбиение более мелким), покрывая аттрактор квадратами со стороной
ТОе. Чтобы покрыть каждый параллелограмм, нам понадобится (7i/7,2)g
меньших квадратов, т. е. в новом разбиении число элементов равно
Пусть п(е) ~ (1/е)0 Подставляя это выражение для п(е) в соотношение
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed