Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
под собирательным названием "наблюдательного шума". Этот шум проявляется
только в процессе измерения и не влияет на феноменологическую динамику
системы. В приведенные выше определения размерностей Д/ и DF внешний шум
не входит.
Прежде чем мы перейдем к некоторым приложениям, остановимся и спросим
себя: а почему так необходимо, чтобы разрешающая способность е стремилась
к нулю? На практике этого никогда не бывает. Кроме того, почему мы
уверены, что максимум емкости динамической "памяти" аттрактора Д/
достигается при е-^-0? Ведь в продолжительной борьбе за выживание
368
Глава 6
биологические организмы стремились максимизировать емкость своей
динамической памяти, не нанося при этом ущерба своей способности сжимать
информацию. Вполне возможно, что более высокие шансы на выживание у
организма, который станет "мастером на все руки", т. е. получит
"неточную" информацию о широком секторе своего окружения, а не
сосредоточит все усилия на узком диапазоне раздражителей из окружающей
среды, распознаваемых им с идеальным разрешением. Не лучше ли нам
заняться вычислением "оптимальной ненулевой разрешающей способности" е*,
при которой достигает максимума D/(e*), т. е. dDj/дг |Е=Е" = О?
Чтобы оценить величину е*, мы поступим следующим образом [6.15].
Рассмотрим выражение Ci = N - Dh характеризующую степень среднего сжатия,
реализуемого интересующим нас аттрактором, и попытаемся вычислить
критическую степень разрешения е*, при которой Di достигает максимума,
или dCi/de = = 0. Чтобы не упустить из виду оптимальный случай,
произведем намеченные выше вычисления для максимального значения
информационной размерности
П (Е)
- ? Pi (е) log2 Pi (е)
D'= 1 = 1 log, (1/ё)-' <6A6>
Как известно, максимальная информационная размерность Di при заданной
ненулевой разрешающей способности е есть фрактальная размерность
аттрактора, которая достигается при Р,(е) = const = 1/га(е).
Следовательно,
lnineS)1 . (6.4.7)
С -N I N In е + In [п (е)] _ In [еЛ'я (е)] (6 4 8)
1 4" In е In е In е ' ' ' ' '
Мы хотим теперь выразить га(е( через показатели Ляпунова нашего
аттрактора и разрешающую способность е. Пусть М - число точек на
(одномерном) периодическом отображении Пуанкаре, порождаемом нашим
аттрактором. Это означает, что мы определяем орбиту как строку длиной в М
символов. Число ячеек, представляющих аттрактор, равно га(е), где в--
диаметр ячейки ("размер зерна"). Для того чтобы разрешающая способность е
имела смысл, необходимо следующее условие: каждый возможный исход орбиты
длиной в М символов должен быть определен точно. Так как мы имеем здесь
дело с системами, динамика которых на каждом шаге может быть однозначно
представлена двумя состояниями (например, 0 и 1), то число исхо-
Стохастичность: хаос и странные аттракторы 369
дов, очевидно, равно 2 м. Следовательно, е нужно выбирать так, чтобы
е~^Г- (6-4.9)
Пусть tc - продолжительность выборки, или, если каждый элемент выборки
выбирается с интервалом At= 1, число проб (итераций), произведенных для
диагносцирования нашего аттрактора. Так как аттрактор представлен М
точками, имеет смысл выбрать
(6.4.10)
В силу хаотического характера динамики через tc итераций отображения
система полностью "забывает" о начальных условиях. Это означает, что
величина tc допускает оценивание из соотношения
eexp {b+tc) ~ 1, (6.4.11)
где Х+ - положительный показатель Ляпунова. Следовательно,
In (1/б) icz л л о\
tc :----------------------------- (b.4.12)
и, наконец,
Ч4У
п (е):
%, In 2
(6.4.13)
Подставляя полученное выражение для п(е) в формулу
(6.4.8) для С/, получаем
2 In f In -'j + In ( --|^
Cj = N ~\ ln 8 (6.4.14)
или
Y + 2 In (In - "j
Cl = N +---------jjVY" . (6-4.15)
где у = ln [1/(Я,+ In 2)].
Требование максимума информационной размерности (равного фрактальной
размерности аттрактора), т. е. дСг/дг = 0, дает следующую величину для
оптимального разрешения:
. е* = ехр[-е<2-т)/2], (6.4.16)
или для оптимальной длины кода
М* = 1п,(п1/2е<) , (6.4.17)
370
Глава 6
откуда
С,(е*) = АГ-2е-<2-т)/2 [бит]. (6.4.18)
Это - наши окончательные формулы для минимального среднего сжатия, т. е.
максимальной (совпадающей с фрактальной) размерности рассматриваемого
аттрактора и соответствующей оптимальной длины кода М*.
Нам остается убедиться в том, что экстремум функции
у + 2 In (In - "j
/(е)=-ВД = ПГ1' ¦ е^°' <6-4Л9>
- действительно максимум, или что информационная размерность Z)y(e)
минимальна.
Вычисляем первую и вторую производные от / (е):
д / (е)
(6.4.20)
де е (In е)2 '
d2f(e) ..... -6 + 2y + 41n(ln-i)+(lne)[Y-2 + 21n(ln-i)] де2 е2 (In
е)3 ¦ ( • ¦ /
При е = е* = ехр {-ехр [(2 - "Y)/2] } получаем
г. г.- Л-
ехр [-2 ехр ( 2 g Y ) j ехр (2 - у)]
Эта величина всегда положительна. Следовательно, функция /(е) имеет в
точке е* минимум, a Dt(е) = -/(е) достигает максимума.
Информационная размерность ?>/(е) обращается в нуль при 8о = ехр [-ехр(-
у/2)]. Разумеется, отрицательные значения .D/(e*) не имеют физического
