Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
таких подкритических условиях </) < 0 (система асимптотически ведет себя
как сток информации, т. е. как начало, ограничивающее разнообразие, а
следовательно, и возникающую информацию,- как источник "негэнтропии").
При значениях управляющих параметров, превышающих критические, когда в
системе устанавливается сплошной хаос (почти все траектории
неустойчивые), вдоль некоторых направлений в пространстве состояний </) >
0, т. е. создается разнообразие, и энтропия возрастает (источники). Кроме
того, неравенство </) <0 и вдоль некоторых других направлений в
пространстве состояний, вследствие чего разнообразие уменьшается и
появляется информация (стоки). Именно из такого взаимодействия
производства и потери информации мы ожидаем вывести характерные
особенности, позволяющие судить о динамической системе как о более или
менее эффективном устройстве, занимающемся обработкой информации.
Помимо изложенной выше достаточно подробно модели Лоренца существуют
модели, во многом аналогичные ей, иапример нелинейный осциллятор Дуффинга
или осциллятор ван дер Поля, в которых при гармоническом внешнем
воздействии {х -f- vx -f- cDqX3 = A cos со/ в первом случае их - е(1- х2)
х + со^х = =¦ A cos со/ - во втором) помимо предельного цикла,
возникающего при синхронизации и захвате частоты, наблюдаются также
хаотические режимы, обладающие всеми описанными выше характеристиками, в
различных окнах пространства управляющих параметров. Интересующегося
читателя мы отсылаем за подробностями, например к работам [6.6-6.8], а
также к приложению В.
6.4. Параметры, характеризующие среднее поведение странных аттракторов:
размерности, энтропии и показатели Ляпунова
Три основных понятия имеют решающее значение (и требуют поэтому
количественной меры) для характеристики динамических свойств странных
аттракторов.
364
Глава 6
а) Степень "сжатия", которую способна обеспечить система (действующая как
своего рода "пылесос" в функциональном пространстве).
б) Точный способ производства энтропии при переходе (и усилении)
внутренних флуктуаций системы с микроскопического на макроскопический
иерархический уровень при увеличении разрешения, обусловленном каскадом
флуктуаций.
в) Свойства устойчивости аттрактора или скорости производства
разнообразия по одним и утраты информации по другим направлениям в
пространстве состояний.
В этом разделе мы намереваемся заняться поиском соответствующих
параметров, позволяющих придать количественный характер перечисленным
нами средним характеристикам странных аттракторов, и возможных
соотношений между такими параметрами.
В этой главе мы рассматриваем динамические системы с дискретным временем
п, такие как отображения x"+i =F(xn), или с непрерывными потоками, такие
как обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка
d\(t)/dt - - f(x(t); р), где х в обоих случаях вектор, вообще говоря, в
многомерном пространстве состояний. При заданном начальном условии
(начальном значении вектора х при п = 0 в случае отображения или при ( =
0 в случае непрерывной системы) порождается орбита Хь х2, . . . , х" в
случае отображения или траектория x(t) в случае системы дифференциальных
уравнений.
Нас интересуют аттракторы, возникающие в таких системах. Аттрактор
представляет собой компактное подмножество С пространства состояний,
обладающее свойством притягивать начальные состояния из некоторой своей
окрестности (после того, как "улягутся" переходные режимы). Под
притяжением мы понимаем, что при каждом начальном условии предельное
множество траектории или орбиты при п или t, стремящихся к оо, есть
компактное множество С. Таким образом, каждая траектория из области
притяжения множества С проходит сколь угодно близко от каждой его точки.
Размерность аттрактора - первый параметр, необходимый для того, чтобы
охарактеризовать его свойства сжимать информацию. Размерность указывает,
какое количество информации необходимо для того, чтобы задать с
определенной точностью положение точки на аттракторе !). Высказывалось
предположение о том, что надлежащим образом определенная размерность
аттрактора, вообще говоря, меньше размерности пространства состояний, в
котором лежит аттрак-
о Существует альтернативное определение информационной размерности как
число битов, которые может динамически хранить аттрактор.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
365
тор. Для траекторий на аттракторе такое понижение размерности
сопровождается попутным уменьшением количества информации, необходимого
для задания начального условия. Знание информационной размерности
аттрактора позволяет наблюдателю оценить приращение информации от
выполнения отдельного измерения на данном уровне точности.
При рассмотрении диссипативной динамической системы мы исходим из
евклидова пространства начальных состояний большой или даже бесконечной
размерности. Однако спустя некоторое время переходные процессы вымирают,
и точка в пространстве состояний, описывающая состояние системы,
