Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 132

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 187 >> Следующая

отрицательны.
Что происходит с рассмотренным нами стационарным состоянием при
дальнейшем увеличении параметра г? Необходимое условие неустойчивости -
комплексная сопряженность корней Х2 и Хз, так как 2ab(r-1)>0. Попытаемся
найти крити-
Стохастичность: .хаос и странные аттракторы
355
ческое значение г', при котором Х2, з=±/Л. При таких условиях
характеристическое уравнение принимает вид
X3 - ХхХ2 + Л2А - Я,Л2 = 0. (6.3.39)
Сравнивая характеристические уравнения (6.3.39) и (6.3.38) " получаем
/ о (а + Ь + 3) с ~ а - Ъ - 1 '
Л = ± д/б (г'с + ст) , (6.3.40)
Л, = -(<г + 6+1).
При ст -< 6 -(- 1 положительные значения г' не существуют.
Решающее значение теперь имеет вопрос о том, что происходит при г г'с.
Поведение системы (6.3.34) было впервые численно исследовано Лоренцом
[6.11] в 1963 г. при г = 28, ст=10 и 6 = 8/3. Лоренц обнаружил, что
система начинает описывать вокруг одного из (неустойчивых) фокусов витки
с амплитудой, возрастающей со временем, описывая раскручивающуюся
спираль. После нескольких таких витков система внезапно оставляет этот
режим, монотонно устремляется к второму фокусу и начинает описывать
вокруг него витки по раскручивающейся спирали. Затем, совершив несколько
витков, система перепрыгивает в окрестность первого фокуса и начинает
описывать вокруг него витки по раскручивающейся спирали: и т. д.
Интересно отметить, что времена, в течение которых, система находится в
окрестности каждого фокуса прежде, чем перепрыгнуть, в окрестность
другого, распределены стохастически, и в описываемом нами процессе нет
никакой закономерности, хотя он порожден развертывающейся во времени
детерминистической (нелинейной) системой. Число витков, описываемых
системой вокруг каждого из двух фокусов, кажется случайным и потому
совершенно непредсказуемым.
На рис. 6.18 показаны проекции на плоскости XY и XZ траекторий системы
Лоренца для приведенных выше значений управляющих параметров в
пространстве состояний.
Представленное на рис. 6.18 "хаотическое" поведение - лишь одно из многих
в богатом репертуаре различных мод хаоса, на которые "способна" система
Лоренца. При больших значениях управляющего параметра г появляется целая
серия новых динамических режимов (все исследования проводились с помощью
численного моделирования на компьютерах). Обсуждение системы Лоренца мы
закончим кратким описанием двух наиболее интересных явлений -
"перемежаемости" и "метаста-бильного" хаоса.
356
Глава 6
Рассмотрим еще раз более точно репертуар поведения системы Лоренца (мы
пока не знаем, существует ли у нее аттрактор!) по данным численного
моделирования в очень широком диапазоне значений управляющего параметра
г. При г < 1 начало координат (0, 0, 0) является единственным устойчивым
стационарным состоянием.
Рис. 6.18. Траектория аттрактора Лоренца на плоскостях XY и XZ при г =
28, о=10, b = 8/3 в обоих случаях.
При г - 1 мы наблюдаем непрерывную надкритическую бифуркацию с
возникновением нового режима, представленного двумя новыми стационарными
состояниями (± Уб(г - 1), ±Уб(г- 1), (г-1). Эти два состояния остаются
устойчивыми до тех пор, пока параметр г не достигнет значения
г о (сг + b + 3)
гс- (a-b- 1) '
при 6 = 8/3, о - 10 этот параметр равен сг'= 24,74.
При г = г' = 24,74, когда комплексные собственные значения пересекают
мнимую ось, происходит бифуркация Хопфа, и стационарные состояния, бывшие
до того устойчивыми, утрачивают свою устойчивость. (Бифуркация называется
"надкритической", если каждое состояние теряет устойчивость, "испуская"
при этом устойчивую периодическую орбиту, и "подкри-тической", если
потеря устойчивости сопровождается "поглощением" неустойчивой
периодической орбиты. Показано, что
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
357
в рассматриваемом нами случае бифуркация подкритическая.) При г > 24,74
оба стационарных состояния становятся неустойчивыми. Поток,
линеаризованный вокруг каждого из этих состояний, имеет отрицательное
вещественное собственное значение и пару комплексном сопряженных
собственных значений с положительными вещественными частями.
Следовательно, при г = 24,74 происходит обратная или "подкритическая",
бифуркация, отделяющая стационарные состояния от зависящего от
Рис. 6.19. Примерный вид одномерного отображения (с точкой возврата)
аттрактора Лоренца на плоскости KZ, поясняющий условия существования
метастабильного хаоса
времени непериодического состояния. Ниже гс - 24,74 наблюдается сложная
ситуация: там существует несколько значений управляющего параметра г, при
которых поведение обретает новые качественные особенности: появляются
неустойчивые периодические и апериодические траектории, но не существует
притягивающего предельного цикла, соответствующего устойчивому
периодическому движению. Этот режим проявляется в "метастабильном" хаосе
и гистерезисном поведении.
Поясним сказанное. Для этого построим одномерное отображение Пуанкаре,
индуцированное на плоскости YZ аттрактора (рис. 6.19). Часть этого
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed