Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 130

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 187 >> Следующая

действием отображения. Плотность числа траекторий, попадающих в некоторый
малый интервал при F(x), равна плотностям в прообразах точек при
отображении, взятых с весами, равными значениям производной \dF/dx\ в
этих точках. Это утверждение выражает закон сохранения вероятности, или
закон сохранения траекторий. Если Xi = F-1 (х)-функция, обратная функции
F(x), то
Последовательные итерации этой процедуры дают все более точную
аппроксимацию правильного равновесного значения Р (х). [Если отображение
имеет устойчивое периодическое решение, то Р(х) сходится к острым
выступам на периодических траекториях, т. е. в этом случае Р(х) состоит
из S-образных функций. В хаотическом режиме, где покрыта только часть
интервала, функция Р(х) может быть разрывной, но отличной от нуля на
конечном интервале значений х.\
N
(6.3.28)
2
(6.3.29)
В общем случае, если x[n) =[F '(х)]"-функция, обратная функции Fw(x), то
(6.3.30)
350
Глава 6
Итак, приняв приведенное выше определение показателя Ляпунова, мы видим,
что
при К(а)< 0 траектория устойчивая и периодическая (итеративный процесс
действует как сток информации); при Х(а) - 0 траектория нейтрально
устойчива (информация не производится и не утрачивается);
при Х(а)> 0 траектория локально неустойчивая и хаотическая (итеративный
процесс действует как источник информации).
Стационарное состояние в трехмерном пространстве имеет три показателя
Ляпунова, все они отрицательны (-, -, -); предельный цикл в трехмерном
пространстве имеет три показателя Ляпунова, два из них отрицательны, один
(вдоль потока) равен нулю (-, -, 0); странный аттрактор характеризуется
тремя показателями Ляпунова (+, 0, -), т. е. одним положительным
показателем Ляпунова А,+, одним нулевым А0 и одним отрицательным А- Иначе
говоря, странный аттрактор порождает информацию в одном направлении и
сжимает информацию в другом направлении. Вдоль потока показатель Ляпунова
равен нулю.
Но для того, чтобы быть аттрактором, система должна иметь 2;=1^;<0> т. е.
отрицательный показатель Ляпунова по абсолютной величине должен быть
больше положительного показателя Ляпунова. Сумма показателей Ляпунова
задает среднюю скорость сжатия объема в пространстве состояний.
Исследуем теперь для логистического отображения поведение показателя
Ляпунова как функции управляющего параметра а. Производная от функции,
задающей логистическое отображение, в данной точке х,- равна
[dF(dX; а)] =a(l-2xt). (6.3.31)
X Xi
Для траектории {х,} с периодом К плотность вероятности Р(х) есть набор из
К функций 6(х-х,), поэтому
% (а) = ? In I • (6.3.32)
" = 1 * Xi
(Основание логарифма несущественно; если результат дается в "битах", то
основание логарифма равно 2.)
Для траектории с периодом 1 (1 <С а <С 3) показатель Ляпунова равен
К (а) = In | 2 - а |.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
351
Ясно, что для такой периодической траектории Х(а)<С 0. Но при о = 1 и а =
3 показатель Ляпунова обращается в нуль: >"(1) = 0 и Я(3)=0, а при а-> 2
он неограниченно возрастает: Ца)->оо. Что это значит? Когда Х(а)
обращается в нуль, происходят "касательные" бифуркации удвоения периода.
Иначе говоря, прежде чем образовывать качественно различные структуры,
траектория должна пройти через нейтрально устойчивый аттрактор. Между
этими бифуркациями %-*--оо, так как точка
Рис. 6.17. Вариация показателя Ляпунова Х(а) как функция управляющего
параметра логистического отображения.
хс = 0,5, в которой F(xc) достигает максимума, становится точкой на
периодической траектории, поскольку в этой точке производная обращается в
бесконечность. Для траектории с периодом 1 это происходит при а = 2. Для
траектории с периодом 2 (а > 3) получаем
% (а) = In | а2 - 2а - 41.
В этом случае показатель Ляпунова всюду неположителен (>.(а)^0). Он
обращается в нуль при a=l + V^ и стремится к -оо, когда критическая точка
хс становится частью траектории с периодом 2; это происходит при а= 1 +
V^S = = 3,236068. Для траекторий более высокого порядка вплоть до точки
накопления ас = 3,57 эта история повторяется (см. рис. 6.17), т. е.
показатель Ляпунова остается неположительным (система ведет себя, как
сток информации) и обращается в -оо на траекториях, для которых текущая
точка х,- приближается к критической точке хс = 0,5, в которой
производная обращается в нуль.
Наконец, выясним, что происходит, когда управляющий па-
352
Глава 6
раметр а достигает точки накопления ас " 3,57 и превосходит ее. В самой
точке накопления (а = ас) Х(ас) = 0, а при а > ас показатель Ляпунова
положителен (Я(а)>0), т. е. система действует как источник информации.
Можно показать, что огибающая значений Я (а) в окрестности ас изменяется
по некоторому универсальному закону (это напоминает поведение параметра
порядка вблизи критической точки фазового перехода). Иначе говоря, мы
можем записать
Я (а) - Я0 (а -- ас)х, (6.3.33)
где т ~ 0,4498, Я0- некоторая постоянная. В общем случае при а > ас
кривая Я (а) гладко возрастает с увеличением параметра а и, наконец,
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed