Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 128

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 187 >> Следующая

основательно изучить то, что принято называть "фрактальными" свойствами и
"фрактальной" размерностью обширного класса кривых или процессов.
Предположим, что дан очень нерегулярный отрезок кривой
(недифференцируемой в бесконечно большом числе точек - такого рода
траектории описывает частица, совершающая броуновское движение в
жидкости) и требуется вычислить длину некоторой его части, заключенной
между точками Л и В, и размерность отрезка. [Вопрос имеет смысл с нашей
точки зрения, так как мы хотим узнать на более формальном уровне какие-то
характеристики структуры множества состояний, остающихся в интервале [0,
1] за первой точкой накопления ас ~ 3,57, в особенности "полную длину"
множества, занятого состояниями, и размерность этого множества. Трудно
удержаться от искушения и не высказать предположение о том, что
размерность этого множества равна 1. Как мы увидим ниже, такое
предположение, вообще говоря, неверно.]
]) Под самоподобием мы понимаем свойство объекта, структура которого
наблюдается в одном масштабе, повторяться в последовательно уменьшающихся
масштабах.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
345
Итак, дана сильно нерегулярная кривая, и требуется вычислить ее длину.
Прежде всего мы выберем длину мерного стержня, равную, например, G. Затем
мы попытаемся сосчитать число сторон (одинаковой длины G) открытого
многоугольника, вершины которого расположены на кривой. Если G -
достаточно малая величина, то несущественно, с какого конца - А или В -
мы начнем. В результате мы получим некоторую оценку длины L(G). Решающее
значение имеет то, что в отличие от регулярной, бесконечно
дифференцируемой кривой с радиусом кривизны Ri ^ G в нашем случае оценка
длины L(G) сильно зависит от G. Следовательно, оценку L(G) необходимо
знать при нескольких значениях G; еще лучше было бы знать аналитическую
формулу для функции L(G), например, вида L(G) ~ ~ AGl~D, где А -
(положительная) константа, D - константа, которая больше или равна
единице. Постоянная D называется "фрактальной" размерностью исследуемой
кривой; D может быть нецелым числом.
Попытаемся понять природу фрактальной размерности. Начнем с прямой в
евклидовом пространстве, имеющей размерность 1. Следовательно, для любого
положительного целого N отрезок 0 ^ х < X может быть разложен на N
неперекрываю-щихся отрезков вида
{n~N1)X- <х<^, (6.3.22)
где п принимает значения от 1 до N. Каждый из этих отрезков получается из
целого преобразованием подобия с коэффициентом подобия r(N)= \/iV.
Аналогично, плоскость имеет размерность 2. Следовательно, для любого
точного квадрата (числа) N прямоугольник 0^ ^ л: ¦< X, 0 ^ у < У может
быть разложен ровно на N непе-рекрывающихся прямоугольников вида
¦\/N л/N
л/N л/n
(6.3.23)
где К и | принимают значения от 1 до V^ . Каждая из этих частей
получается из целого преобразованием подобия с коэффициентом подобия г
(N) = l/л/ы . В общем случае, если N1/D-• положительное целое число, то
D-мерный прямоугольный параллелепипед может быть разложен на N
параллелепипедов, каждый из которых получается из исходного
параллелепипеда преобразованием подобия с коэффициентом подобия г (N) -
1/Nl/D.
346
Глава 6
Таким образом, размерность D характеризуется соотношением
Рассмотрим кривую (ломаную), построенную на интервале [0,1] (рис. 6.16).
Она состоит из N = 8 "звеньев". Заменим каждое из N звеньев ломаной,
которая получается из всей кривой преобразованием подобия с коэффициентом
r(N)= 1/4. Мы

0 1
Рис. 6.16. Первый шаг в формировании фрактальной кривой при самоподобном
скейлинге (см. текст).
получим ломаную из N2 звеньев длиной (1/4)2. Заменим далее каждое звено
новой ломаной кривой, которая получается из исходной ломаной
преобразованием подобия с коэффициентом (1 /4)3, и т. д. Самоподобная
кривая, которую мы хотим построить, получается, или, лучше сказать,
аппроксимируется, бесконечной последовательностью таких шагов. Ясно, что
полная длина такой кривой на единичном интервале стремится к
бесконечности, а ее фрактальная размерность равна
Попытаемся теперь вычислить фрактальную размерность канторовского
множества. Она определяется (для любого компактного множества точек)
через число N "шаров" диаметра е, которое необходимо, чтобы покрыть
данное множество. Если при е->-0 это число возрастает как iV(e) = const -
e~D, то D - "фрактальная", или хаусдорфова, размерность множества.
И в этом случае мы вычисляем D по формуле
In N
r(N)
(6.3.24)
Пример
(6.3.25)
Если мы хотим знать расположение множества с точностью до е, то для
указания его нам необходимо знать положения N (е)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
347
"сфер", покрывающих множество. Следовательно, размерность Хаусдорфа можно
интерпретировать как характеристику множества, говорящую нам, сколько
информации необходимо для того, чтобы определить расположение множества с
заданной точностью. Для канторовского множества е = 1 /3 и N = 2 при
первом разбиении, е = 1/9 и N - 4 при втором разбиении, . . . ..., е =
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed