Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 126

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 187 >> Следующая

дискретные точки, а всюду плотные притягивающие подмножества на интервале
[0,1]. Эти интервалы следов итерирующего "многоугольника" на оси X
образуют, как говорят, канторообразное множество - асимметричное
множество, о котором пойдет речь в разд. 6.4. Но прежде, чем мы пойдем
дальше, необходимо исследовать более подробно, каким образом возникает
хаос в каскаде бифуркаций удвоения периода.
340
Глава 6
Несколько лет назад Фейгенбаум [6.9], по существу с помощью одного лишь
карманного микрокалькулятора, обнаружил, что путь к хаосу рекуррентен в
следующем смысле. Последовательность критических значений ас между 3 и
~3,57 подчиняется двум "универсальным" постоянным: (1) коэффициенту
подобия ц = 2,50290787 ..., задающему "показатель плотности упаковки"
критических точек X* между двумя последовательными поколениями состояний
(это расстояние в интервале [0, 1] на оси X между более далеким
стационарным Co-
0,о
о, 25
0,5
0,75
1,0
ННН-
Рис. 6.14. Серия преобразований подобия подынтервалов, внутри которых
располагаются траектории, при последовательных критических значениях
управляющего параметра а приводит к каскадам удвоений периода,
предшествующим достижению точки накопления а =3,57. В пределе эти интер-
ОО
валы образуют асимметричное "черно-белое" множество типа канторовского,
характер которого определяется скейлинговой константой р Фейгенбаума.
Последовательные критические значения ас связаны между собой константой б
Фейгенбаума. (По работе [6.10].)
стоянием, претерпевающим бифуркацию, и точкой X = 0,5 в р раз меньше, чем
расстояние между ее "родителями" и точкой J = 0,5); (2) коэффициенту
сходимости 6 = 4,66920 ..., задающему скорость сходимости критических
значений а, трех поколений с помощью рекуррентной формулы
ас ~ ас
J- = a. (6.3.21)
ас ~ ас
п+1 °п
За критической точкой аСоо " 3,57 (точкой накопления критических точек)
периодические траектории уступают место новому режиму, внешне выглядящему
по существу как марковская цепь стохастически взаимозависящих строк из
нулей и единиц (если
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
341
попадание в левую половину интервала мы условимся кодировать нулем, а
попадание в правую половину - единицей). Взаимозависимость, отличающая их
от исходов бросания нефальшивой монеты, обусловлена логистической кривой.
(Все возможные строки нулей и единиц могут появиться только в пределе при
а = 4, когда в отображении участвует весь интервал.)
При а> ас существует бесконечно много неподвижных точек с различными
периодичностями и бесконечно много циклов различной длины. Существует
также несчетное множество начальных точек Хо, порождающих полностью
апериодические траектории.
При а > 3,57 все эти циклы сначала имеют четные периоды. Затем при
значении управляющего параметра а =3,6786 появляется первый цикл с
нечетным периодом. Несколько первых нечетных циклов имеют очень большие
периоды, но по мере увеличения управляющего параметра появляются циклы с
все более коротким периодом, и, наконец, при а - 3,8284 возникает
последний цикл с периодом 3. При а > 3,8284 существуют циклы с периодами,
равными любому целому числу, а также несчетное множество асимптотически
апериодических траекторий. "Период 3 влечет за собой хаос". Термин "хаос"
означает в данном случае существование динамических траекторий,
неотличимых от некоторых случайных процессов. [Дело в том, что для
рассматриваемого нами логистического уравнения при любом конкретном
значении параметра существует один цикл, который устойчив и притягивает
по существу все начальные точки, т. е. один цикл, которому "принадлежат"
почти все начальные точки. Остальные циклы (их бесконечно много) вместе с
асимптотически апериодическими траекториями "владеют" множеством точек,
которое, хотя оно и несчетно, имеет меру нуль (к этому вопросу мы
вернемся в разд. 6.4.1 в связи с обсуждением размерности канторовского
множества). Любой конкретный устойчивый цикл возникает в чрезвычайно
узком "окне" (или щели) в пространстве управляющего параметра. Это
обстоятельство вместе с большой продолжительностью переходных режимов
делают практически невозможным обнаружение одно-го-единственного цикла в
реальном или численном эксперименте и вынуждают исследователей прибегать
к стохастическому описанию динамики, несмотря на детерминистический
характер изучаемого процесса.]
Мы объяснили, каким образом исходное стационарное состояние X* через
каскад бифуркаций порождает гармоники с периодом 2" (аСоо = 3,57-точка
накопления в пространстве управляющего параметра а при я-"-оо). Проблема
теперь
342
Глава 6
состоит в объяснении того, как появляются новые циклы с периодом /СХ2Л.
Этот процесс изображен на рис. 6.15, где показано, как на кривой Xt+з =
Е(3) (Xt) возникает цикл с периодом 3.
Если "горб" на графике функции F(X) достаточно крутой (т. е. достаточно
высокий), то трехкратная итерация порождает функцию F(3)(X) с четырьмя
максимумами ("горбами"), как на рис. 6.15. Сначала (при а < 3,8284)
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed