Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
всех собственных значений принадлежали интервалу (-1, +1): I Re {A,} | <
1. В нашем примере это означает, что стационарные состояния устойчивы,
если угол наклона касательной к кривой F(Xn) в соответствующей точке
заключен между -45° и 45° (рис. 6.12).
Вычислим угловой коэффициент касательной. В точке X* угловой коэффициент
касательной к кривой F(Xn) = Xn+\ - = аХп( 1-Хп) равен
Л<и(Г) = {jk)x.x- \-аХ 0 - *)]*-*• = а [(1 - 2Х)]х=х*.
(6.3.11)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
337
Для стационарного состояния X* = 0 получаем Я(1)(0)=а, но так как в
нетривиальных случаях а > 1, начало координат все-
Рис. 6.12. Логистическое отображе- Рис. 6.13. Логистическое
отображение. Одно устойчивое стационарное ние. Предыдущее стационарное
со-
состояние. а - итерационный процесс стояние становится неустойчивым и
(показан штриховой линией) на ото- возникает устойчивый предельный
бражении F(x), б-функция F(F(x)). цикл периода 2. (По работе [6.9].)
Штриховая линия имеет наклон в 45° и проходит через начало координат. (По
работе [6.9].)
гда является неустойчивым стационарным состоянием. Для стационарного
состояния ЙГ|= 1 - (1/а) получаем
%w{x\) = a-2ct(\ -1) =2-а. (6.3.12)
Это стационарное состояние устойчиво, если UX) (X)) ^ 1, или при 1 < a
sg; 3.
338
Глава 6
Действительно, когда "горб" кривой становится все более крутым и F
(X)макс стремится к единице, управляющий параметр достигает своего
критического значения (ас, = 3), за которым стационарное состояние X*
становится неустойчивым. Понять, что происходит за критическим значением
аСх = 3, нам поможет рассмотрение второй итерации функции F(X):
Стационарные состояния в этом случае - те значения Х*2, которые являются
вещественными решениями уравнения Х*2 - р(2) (X*) в интервале [0, 1]. Как
видно из рис. 6.13, в этом случае существуют четыре стационарных
состояния, а именно: начало координат, предыдущая точка 2f*= 1-(1 /а) и
два новых "сателлита" Х*2' и Xпо обе стороны от X* - решения уравнения
которые все вещественны и положительны (заключены между
Точнее говоря, один корень уравнения (6.3.15) есть старое состояние X] =
1-(1/а). Два новых сателлитных состояния определяются двумя другими
корнями
Исследуем теперь, как ведет себя угловой коэффициент Я(х) касательной в
точке X* к кривой 2-й итерации F^iX)* Имеем:
Этот результат, связывающий угловые коэффициенты касательных, проведенных
в данной точке к последовательным итерациям, можно обобщить:
Xn+2 = F(F(Xn)) = FW(Xn).
(6.3.13)
а2Г(1 -Г)[1 -аГ (1 -Г)]=Г,
(6.3.14)
или
а3Х3 - 2а3Х2 + а2 (а + 1) X + 1 - а2 = 0, (6.3.15)
О и 1).
1 -t-a + Va2 - 2а - 3
(6.3.16)
2 а
и
1 + а - д/а2 - 2а - 3 2а
(6.3.17)
df(2) (X) дХ
= А<2> (X) = а2 - 2а2 (а + 1) X + Qa3X2 - 4а3Х3, (6.3.18) А<2>(Г) = а2-
4а+ 4==(2-а)2 = [А<>>(Г)]2. (6.3.19)
Л")(*) = [Л(1) (*)]*•
(6.3.20)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
339
(Из соотношения (6.3.20), в частности, следует, что, когда "материнская"
точка X* становится неустойчивой, в ее окрестности появляются устойчивые
близнецы-сателлиты.)
Итак, при а > 3 после бифуркации (при aCl = 3) предыдущее стационарное
состояние теряет устойчивость, и в его окрестности возникают два новых
стационарных состояния. Система колеблется между этими двумя состояниями
(рис. 6.13) по устойчивой асимптотической траектории - предельному циклу
"периода 2". Эти колебания асимптотически устойчивы в том смысле, что при
многократных итерациях отображения F(X) мы выходим на них при любом
начальном значении Х0.
При дальнейшем увеличении параметра а мы доходим до нового критического
значения aCl = 3,414, за которым касательные в точках Х*2', Х'2" (имеющие
одинаковые угловые коэффициенты) образуют с горизонтальным направлением
угол круче 45°. Это означает, что цикл периода 2 становится неустойчивым,
вследствие чего каждый из сателлитов Х2, Х*2" становится неустойчивым, и
по сторонам от него появляются два новых сателлита- они соответствуют
возникновению асимптотически устойчивых колебаний периода 4. Такой каскад
бифуркаций точек X* приводит к серии "удвоений периода" возникающих
предельных циклов и продолжается при дальнейшем увеличении параметра а:
при а>аС/г_^ цикл периода 2я-1 становится неустойчивым, и последующая
бифуркация порождает устойчивый цикл периода 2п.
Отдельные точки X* на оси X, как видно из рис. 6.14, не порождают
симметричные множества: последовательность точек X* расположена на
отрезке [0, 1] весьма нерегулярно. Отрезок [0, 1] разбивается на области
(подмножества или полосы), в которых траектории существуют. Эти области
разделены "пустыми" подмножествами, в которые орбиты не попадают.
При самом критическом значении ас 3,5700 (в точке накопления критических
точек) ни одна периодическая траектория практически не устойчива, и
развитая выше схема порождает также апериодическую траекторию
бесконечного периода. Этот режим обычно принято называть "хаосом", и,
несмотря на то, что нет ни одной устойчивой орбиты, ему соответствуют не
