Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Запишем еще раз нашу трехмерную систему дифференциальных уравнений
в таком виде, чтобы по существу все сво-
Рис. 6.10. 2-тор.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
331
дилось к нелинейной связи линеаризованной двумерной системы Xi, х2 с
третьей переменной х3.
Пусть А'ь х2, Аз - возмущения относительно некоторой особой точки (X*,
Х'2, X*). Предположим, что особая точка 2Q - фокус. Двумерная система Х\,
х2 сама по себе (в канонической форме) имела бы вид
и, будучи связанной с третьей переменной хз, порождает систему уравнений
Вводя полярные координаты Xi = rcoscp, x2 = rsin(p, преобразуем систему
уравнений (6.2.6) к виду
dff dr .
ДГ = -Р- 4t=ar+rx з-
rfx (6-2-7)
^ZT = f(r, Ф, *з)-
Замена переменных показывает в явном виде, что угловая скорость вращения
(например, со2 = Р) в плоскости (xi,x2) не зависит от того, каким образом
переменная Хз связана с х\ и х2. Следовательно, если параметры системы
уравнений относительно г и х3 приводят к возникновению предельного цикла
с основной угловой частотой, например (c)ь то в наиболее вероятном случае
отношение cdi/cd2 иррационально. Таким образом, система
(6.2.7) способна порождать эргодическое квазипериодическое поведение.
Чтобы вызвать возникновение аттрактора в виде 2-тора, достаточно связать
нелинейным образом нелинейный осциллятор с третьей переменной х3.
Приведем конкретный пример, т. е. зададим в явном виде нашу функцию
f(xux2, х3). Выберем
dx\ | ^ dx2 л I
~ axi + - Р-Ч + ах2
(6.2.5)
dx
-гг- = ах i + р*2 + хххг,
- Рлгх + ах2 + х2х3,
(6.2.6)
~zt~f (Х1> Х2' Хз)-
Сосредоточим внимание на системе (г,х3), а именно на системе
332
Глава 6
и определим, при каких условиях в системе может возникнуть предельный
цикл. Система (6.2.9) имеет следующие стационарные состояния:
а) т* = 0, х*3 - 0;
б) г* = 0, х*3 = а;
в) х3 - - а, г* = V- а2 - аа , - а (а + а) > 0.
Исследуем каждое из этих стационарных состояний на устойчивость
относительно малых возмущений, полагая г = г* -|- р и
хэ = хз + гДе Р < г* и Е < х*3.
а) Подставляя в систему уравнений (6.2.9), получаем
-% = а* и -%- = вЪ- (6-2Л0>
Если а < 0 и а < 0, то стационарное состояние (0, 0) устойчиво. Оно
становится седлом, если ст > 0, а < 0, или ст <С 0,
а > 0; наконец, оно становится репеллером, если а > 0, ст > 0.
б) В этом случае мы получаем
= Р (а + ст) и -Ц- = -o-g. (6.2.11)
Если (а + ст) < 0 и а > 0, то стационарное состояние (0, ст) устойчиво.
При ст < 0, (ст + а) < 0 это седло, при ст < 0, (ст + а) > 0 - репеллер.
в) В этом случае линеаризованная система имеет следующий вид:
= а (г* + р) + (г* + р) (*з + Е) =
= аг* + г*х*3 + ар + r% + рЕ* + рЕ ~ r% (рЕ < 1), (6.2.12а)
о
~3t = ° (хз + Ю ~ + р^2 - (*3 + Ю2 =
= охз - г*2 - хз2 + стЕ - 2г*р - р2 - 2х*Е - Е2 ~
о
" -2г*р + (ст + 2а)Е, (р2 + Е2 <С 1). (6.2.126)
Запишем характеристическое уравнение этой системы:
Я2 - Я (ст + 2а) + 2г*2 = 0, (6.2.13)
или
Я2-Я (ст + 2а) - 2а (а + ст) = 0. (6.2.14)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
333
Состояние (г*, х*) - фокус, если корни характеристического уравнения
комплексно-сопряженные, т. е. если (а + 2а)2< <-8а(а + а). Ясно, что при
о < - 2а вещественные части собственных значений отрицательны и поэтому
фокус устойчив.
Вспоминая то, что уже говорилось в разд. 2.2.9 о потере устойчивости
фокусом и рождении предельного цикла, мы без труда обнаружим, что в
интересующем нас сейчас случае при о ^ -2а фокус теряет устойчивость и
возникает предельный цикл с угловой частотой
co1=V2r*=V - 2а(а + н). (6.2.15)
вообще говоря, несоизмеримой с со2- Следовательно, при ос = = -2а
периодическое решение со2 становится неустойчивым, и возникает
притягивающий 2-тор с квазипериодическим движением, если условия а + 2а ^
0, а (а + а) < 0 совместны.
Подведем итоги. Мы установили пока, что в трехмерном пространстве
состояний диссипативная система имеет устойчивые стационарные состояния,
предельные циклы [в общем случае периода К, где К - 2, 4, 6, ..., 2v; это
означает, что в сечении Пуанкаре траектории соответствует не пара точек
(К = 2), а скорее набор из К ~ 2v дискретных точек, которые траектория
обходит в циклическом порядке] и 2-торы с квазипериодическим движением.
Существует ли в трехмерном пространстве состояний еще что-нибудь? Да,
существует. Мы покажем сейчас, что в трехмерном пространстве состояний
существует еще одна наиболее важная категория аттракторов - так
называемые "странные" аттракторы.
Непериодические аттракторы. Итак, возникает вопрос: существуют ли в
трехмерном пространстве состояний аттракторы более "экзотические", чем
стационарные состояния, предельные циклы и двумерные торы? Даже если
такие аттракторы существуют, то в трехмерном пространстве они должны
иметь нулевой объем. Одномерное сечение Пуанкаре такого аттрактора можно
представить в виде бесконечного ансамбля несчетных несвязных сегментов из
точек на прямой, которые аттрактор "посещает" всякий раз, когда он
непериодическим ("хаотическим") образом проходит через "нулевой уровень".
