Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отличается от первоначальной ситуации, когда периодическая орбита
окружена инвариантными (рациональными) торами. Здесь так же, только в
меньшем масштабе, при усилении возмущения каждая рациональная поверхность
разрушается, порождая центры и седловые точки. Разглядывая картину,
изображенную на рис. 6.8, в микроскоп с достаточно большим увеличением,
можно было бы заметить, что она воспроизводится во все меньшем и меньшем
масштабе.
Резюмируя, можно утверждать, что современная классическая механика,
существенно используя численные эксперименты, получила важные новые
результаты, имеющие отношение к классической статистической механике. С
одной стороны, полученные данные показывают, что Я-теорема Больцмана (и,
следовательно, эргодичность и перемешивание) не следует считать
непременным атрибутом поведения системы, состоящей из большого числа
взаимодействующих компонент любого рода, кроме твердых шаров. Правда,
численные эксперименты вроде того, который был выполнен Ферми и др.
[6.2], проводились не с тысячами или миллионами, а всего лишь примерно с
сотней взаимодействующих осцилляторов. Вместе с тем можно было бы
возразить, что даже если мы рассматриваем ровно 100 взаимодействующих
твердых шаров, то отнюдь не обязательно следует ожидать монотонного
возрастания энтропии. Вопрос этот пока остается открытым, но, к счастью,
затронутый нами аспект не существен для нашей темы.
С другой стороны, как показывают работы, связанные с теоремой КАМ, даже
очень небольшое число взаимодействующих осцилляторов, более того, даже
система с тремя степенями свободы (т. е. один нелинейный осциллятор при
гармоническом внешнем возбуждении [6.6-6.8]) при заданных значениях
управляющих параметров может иметь полностью хаотическую, т. е.
апериодическую траекторию, неотличимую от случайного шума. Более того, в
последнее время стало все более ясно, что гамильтонов "хаос"
принципиально ничем не отличим от аналогичного поведения, обнаруживаемого
в диссипативных системах малой размерности (за исключением одной важной
особенности: гамильтоновы системы сохраняют объем в фазовом пространстве,
в то время как в диссипативных системах объем в фазовом пространстве
сжимается в аттрактор, размерность -которого меньше размерности исходного
пространства).
326
Глава 6
Рис. 6.7. Инвариантная кривая, идущая из одной точки (X), пересекает в
бесконечно многих точках инвариантную кривую, идущую из другой точки (X),
на отображении Пуанкаре. Эти пересечения инвариантных кривых называются
"гомоклиническими точками".
X
Рис. 6.8. Инвариантные кривые, окруженные областью хаотического поведе^
ния. (По работе [6.4].)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
327
6.2. Динамика в трехмерном пространстве состояний (три степени свободы).
Стационарные состояния, предельные циклы, притягивающие торы
В предыдущем разделе мы видели, что один из наиболее интересных
результатов теоремы КАМ - устойчивость "иррациональных" торов
относительно малых возмущений полной энергии гамильтоновой системы. Это
означает, что иррациональные торы обладают особой "структурной
устойчивостью" при малых значениях возмущающего параметра е в выражении
для гамильтониана
Н = Н0 + еНи (6.2.1)
где Н0 - энергия интегрируемой невозмущенной системы. Разумеется, такого
рода устойчивость не имеет ничего общего с асимптотической устойчивостью
аттракторов, с которой нам приходилось до сих пор сталкиваться при
изучении нелинейных диссипативных систем с двумя степенями свободы, а
именно с предельными циклами. Во-первых, иррациональные торы (подобно
рациональным торам) образуют семейства, члены которых "вложены" друг в
друга, поэтому они не являются аттракторами. Во-вторых, в случае
асимптотической устойчивости аттракторов (характерных только для
диссипативных систем) аттрактор асимптотически устойчив относительно
возмущений начальных условий, но может оказаться чрезвычайно
чувствительным к малым вариациям управляющих параметров в окрестности
критических значений.
Следовательно, устойчивость иррациональных гамильтоновых торов
относительно малых возмущений управляющих параметров системы, хотя она и
производит впечатление сама по себе, не имеет отношения к асимптотической
устойчивости, характерной для (устойчивых) аттракторов диссипативных
систем. В этой связи возникает вопрос: какого типа аттракторы могут
встретиться нам в диссипативных системах, имеющих более чем двумерное
пространство состояний?
Вспомним, что в двумерном пространстве состояний единственными типами
особенностей, которые нам встречались, были неподвижные точки
(стационарные состояния) и предельные циклы. Из них аттракторами (для
диссипативных систем) являются только стационарные состояния и устойчивые
предельные циклы.
Изучение динамики трехмерного пространства состояний мы начнем с
обобщения того, что нам уже известно в двумерном случае, - с исследования
автономной системы трех связанных
328
Глава 6
нелинейных дифференциальных уравнений
