Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
окружностями - следами сечений вложенных друг в друга инвариантных торов.
Различные особые
322
Глава 6
точки (О-образные (центры) и Х-образные (седловые точки)) соответствуют
простым периодическим траекториям движения.
Необычная картина предстает перед нами, когда значение гамильтониана
поднимается до Н0= 0,125 (рис. 6.5). Некоторые инвариантные кривые еще
окружают особые точки (периодические траектории), но такие кривые уже не
заполняют всю область пространства состояний, доступную для "частиц" с
Рис. 6.4. Инвариантные кривые отображения Пуанкаре, порождаемого
динамической системой Хенона - Хейлеса на плоскости q2, 42• Различные
контуры обозначены буквами от А до Н. (По работе [6.4].)
Н0 - 0,125. В разрешенной области траектории блуждают самым нерегулярным
образом. Рассеянные точки на рис. 6.5 соответствуют пересечениям
плоскости q 1 = 0 одной апериодической траекторией. При дальнейшем
увеличении энергии область заполненная инвариантными кривыми, сокращается
еще больше. Создается впечатление, что инвариантные кривые преобладают
при малых амплитудах движения и слабых возмущениях, но при больших
энергиях инварианты постепенно вытесняются, уступая место полностью
нерегулярному, или хаотическому, поведению, неожиданному для простой
детерминистической системы с малым числом степеней свободы.
Как можно было бы объяснить такое поистине удивительное поведение? Ответ
на этот вопрос по существу дает знаменитая теорема Колмогорова - Арнольда
- Мозера (КАМ) -
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
323
по-видимому, величайшее достижение классической механики со времен
Пуанкаре. Мы не станем приводить здесь ее доказательство, поскольку это
отвлекло бы нас от нашей основной темы, а закончим вводный раздел гл. 6
несколькими замечаниями качественного характера.
Решающее значение имеет вопрос о том, что происходит с инвариантными
торами в нашем четырехмерном пространстве
Рис. 6.5. Инвариантные кривые отображения Пуанкаре, порождаемого
динамической системой Хенона - Хейлеса на плоскости q2, q^. Видны
различные области регулярного движения (траектории, лежащие на
инвариантных кривых), окруженные областью хаотического поведения
(распознаваемой по следам одной апериодической траектории). (По работе
[6.4].)
состояний (или с семейством соответствующих торам концентрических
окружностей на плоскости Пуанкаре (q2, (/2)), когда мы наложим на нашу
простую систему двух осцилляторов небольшое возмущение. По мере усиления
возмущения большинство "рациональных" поверхностей (торов с рациональным
отношением 0Э1/0Э2 = ti/tn) постепенно разрушаются, и на сечении Пуанкаре
остается четное число чередующихся эллиптических
(О) и седловых (X) (гиперболических) неподвижных точек, т. е. четное
число периодических траекторий (рис. 6.6).
["Иррациональные" торы (для которых отношение оц/шг иррационально), хотя
и изменяют свою форму под действием слабого возмущения, не разрушаются:
следы их пересечения с
324
Глава 6
сечением Пуанкаре остаются инвариантными непрерывными замкнутыми
кривыми.]
Выясним, что происходит в окрестности гиперболических неподвижных точек.
Эти точки должны быть соединены интегральными кривыми - сепаратрисами,
которые мы уже видели в примере с двумерным фазовым портретом маятника.
Заметим, что эти инвариантные кривые, пересекающиеся в седловой точке,
могут быть входящими и выходящими в зависимости от того, куда движутся
точки по инвариантным кривым - к седловой неподвижной точке или от нее.
Рис. 6.6. При малых возмущениях "рациональный тор" (а) распадается и на
его месте появляются (б) расположенные попеременно эллиптические (О) и
седловые (X) (гиперболические) неподвижные точки. (По работе [6.4].)
При определенных условиях кривая, выходящая из одной седловой точки,
может стать входящей кривой для соседней седловой точки. Однако в общем
случае этого не происходит: показано, что обычно инвариантная кривая,
выходящая из одной седловой точки, пересекает инвариантную кривую,
проходящую через соседнюю седловую точку. Смейл [6.5] доказал, что если
инвариантные кривые, проходящие через соседние седловые точки,
пересекаются один раз, то они пересекаются бесконечно много раз. Точки
пересечения инвариантных кривых из соседних седловых точек называются
гомоклиническими точками (рис. 6.7).
Окончательная картина в сечении Пуанкаре складывается следующим образом.
Между оставшимися интегральными кривыми иррациональных торов
располагаются области иррегулярного поведения, порождаемого хаотическими
траекториями,
a
б
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
325
точки пересечения которых с сечением Пуанкаре являются го-моклиническими
точками. Области хаотического поведения могут быть очень малы, если
возмущение очень мало, но размеры их возрастают с увеличением параметра
возмущения. В отличие от этого поведение вблизи неподвижных точек -
центров, возникающее при разрушении рациональных поверхностей, мало чем
