Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
состояний трех и более измерений, и соответствующее обсуждение мы отложим
до гл. 6. Но, как бы то ни было, решение для стационарного
режима системы (5.6.3) позволяет оценить долю (в процентах)
устойчивых режимов в полиморфной популяции.
5.7. Игра конкурентно-кооперативного производства и обмена.
Понятие "паразит" на символическом уровне
Рассмотрим две крупномасштабные системы х, у (люди, организации),
производящие два различных продукта х и у. Каждая система отдает другой
некоторую долю q своей продукции, а остальное (составляющее долю р = 1 -
q) оставляет себе. Проанализируем эту ситуацию, следуя работе Рапопорта
[5.6].
Нас интересует динамика эволюции продуктов х и у, поэтому необходимо
задать математические ожидания выигрышей для обоих партнеров. Если
средние платежи равны соответственно Gx и Gy, то естественно снова
обратиться к алгоритму, который по существу означает, что скорость
возрастания или убывания производства х или у зависит от
дифференциального выигрыша каждого партнера, оцениваемого по производству
х и у. Мы придерживаемся принципа, согласно которому две рассматриваемые
нами системы способны адаптироваться друг к другу по заданным "правилам
обмена" (т. е. заданным р и q), чтобы максимизировать свою полезность,
или "рентабельность" (выигрыш), путем контроля за выходом продукции.
Предполагается, что так вел бы себя индивид, предоставленный самому себе:
чем больше он работает, тем больше он производит, и тем больше получаемый
им выигрыш. Но после того, как будет превзойден некоторый уровень
производительности, "усталость" системы производства может все больше и
больше снижать выигрыш из-за все возрастающей отрицательной "полезности".
В некоторой точке суммарный выигрыш достигает максимума; именно в этой
точке индивид и зафиксирует выход своей продукции.
306
Глава 5
Возникает вопрос: "в какой мере полезность зависит от вознаграждения и
объема производства?" Относительно объема производства мы примем
простейшее из возможных предположений: будем считать, что (отрицательная)
полезность из-за усталости пропорциональна объему производства. Что
касается вознаграждения, то мы будем придерживаться здесь так называемого
принципа сокращающегося дохода: при возрастании вознаграждения полезность
также возрастает, но с убывающей скоростью (прибавка в 1000 марок
означает для человека, зарабатывающего 3000 марок в месяц, больше, чем
для человека, зарабатывающего в месяц 20 000 марок).
Если рост полезности (и) обратно пропорционален уже полученному
вознаграждению (г), то в нашем случае полная полезность равна
= (5-7Л>
где К - константа. Тогда du = Kdr/r и ы = К In г-f-Л. Пусть А =0. И в
нашем случае полная полезность равна
Gx = In (rx) - рх для партнера X,
Gy = \n{ry) - $у для партнера Y. (5.7.2)
(Мы предполагаем, что "фактор усталости" |3 одинаков для обоих партнеров.
Аналогичные предположения сделаны и относительно долей р, q (у обоих
партнеров р и q одинаковы).) Какой вид имеют выражения для гх, гу?
Ясно, что вознаграждение гх партнера X содержит член рх -f- ру, а
вознаграждение гу партнера Y содержит, соответственно, член qx -f- ру¦ Из
соображений нормировки мы полагаем гх = 1 + рх -f- qy и гу = 1 -+- qx -f-
ру с тем, чтобы Gx = 0, = 0 (In 1 = 0) при х = 0, у = 0. Тогда наши
динамические уравнения принимают вид
dx д°х =-|г[М1 + рх + qy) - Р*],
dt дх дх /К 7 со
dy дОу д (5.7.3)
[In (1 + qx + ру) - р*].
dt ду ду Из уравнений (5.7.3) следует, что dx р
-Р,
dt 1 + px + qy ^ 7 ^
dy _ У__________________о
dt 1 + qx + ру
Исследуем природу и устойчивость стационарных состояний (если таковые
существуют). Стационарные состояния опреде-
Элементы теории игр
307
ляются уравнениями
yl(x) = px +qy = (p/$) -I, у2 (х) = qx + ру = (р/р) - 1.
Это - две прямые ("оптимальные линии"), содержащие все точки равновесия
для каждого из партнеров, т. е. у каждого из лартнеров имеется точка
равновесия при каждом значении вы-
Рис. 5.19. Линии равновесия для игры "обмен продукцией".
хода другого. Поэтому каждый из игроков будет пытаться, варьируя свой
выход, "посадить" общую точку на свою оптимальную линию. Следует иметь в
виду, однако, что каждый из игроков управляет отдельной координатой: X
может перемещаться только по горизонтали, Y - только по вертикали (рис.
5.19). Из уравнений (5.7.4) мы заключаем, что точка равновесия
х' = у' = Ш~ 1 (5-7.6)
может находиться в первом квадранте (х > 0, у> 0), только если р >(3. Это
означает, что либо р не слишком мало, либо Р не слишком велика. В свою
очередь это означает, что либо доля продукции, оставляемая индивидом
себе, не должна быть мала, либо "фактор усталости" не должен быть слишком
велик.
Исследуем теперь устойчивость точки равновесия (5.7.6). Точка равновесия
называется устойчивой, если в ее окрестности точка, определяемая усилиями
игроков, стремится двигаться к ней, когда игроки пытаются максимизировать
свои собственные относительные полезности Gx, Gy. Если точка, определяе-
