Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(1 - 1 /2?, 1 - 1/2?) - седловые точки, состояния (3/8, 1 - 1/2?) и (1 -
1/2?, 3/8)-центры (см. рис. 5.14-5.16).
В заключение заметим, что непрерывная ("континуальная") нелинейная
динамика, управляющая эволюцией наклонностей X\(t) и x2{i) во времени,
после переходного процесса порождает дискретные явления, или
переключательные режимы, как в случае дилеммы узника (1 <Е^З), так и в
случае "игры желторотых" (1 < i < оо). Точнее говоря, в случае дилеммы
узника при ? > 3 искушение пойти на одностороннее нарушение согла-
Элементы теории игр
285
шения столь велико, что "порог доверия" (х* ^ 1 или и* ^ 1), выше
которого происходит кооперация, установиться не может: при любых
начальных значениях х\ и х2 система выходит на некооперативный режим
(DD). Вероятность и захвата (кооперативный режим) в (СС) связана с
пороговой вероятностью х*, выше которой происходит бифуркация,
соотношением и = = 2(1-х*)2 (см. рис. 5.12). Максимальное значение (при
Рис. 5.14. Описание игры начинающего в пространстве состояний (| = 2);
Д и Г - два центра.
|=1) вероятности и составляет -17,2 %. В случае игры желторотых
соответствующая вероятность кооперативного поведения равна 1 -nab при | <
2,4, где а, b - оси
а = д/ГЛЁ. _ J-Л Ь= 1 (*-±)
V 2 (8 2lJ V2 V8 21J
эллипса сепаратрис на рис. 5.14. При ?^2,4 (рис. 5.15, 5.16) пространство
состояний разделяется на три области Ru R2 и R3. Вероятность захвата в
состояние (СС) при ?->-оо быстро убывает до нуля, если предположить, что
границы "поглощающие", так как тогда траектории, начинающиеся в "юго-
западной" области, могут остановиться, натолкнувшись на границы х\ - 0 и
х2 = 0 или х2 = 0 и *i = l. Но если считать границы "скользкими", то
траектории, начинающиеся в "юго-западной" области, могут доходить до угла
с состоянием (СС) (рис. 5.16). При
286
Глава 5
Рис. 5.15. Описание игры начинающего в пространстве состояний (| = 2,4).
Рис. 5.16. Описание игры начинающего в пространстве состояний (| = 10); Д
и Г - два центра. Яи Яг и Яз указывают три различные области в
пространстве состояний.
Элементы теории игр
287
этом, когда параметр | становится больше 2, 4, вероятность кооперативного
поведения возрастает и при ?->-оо стремится к 1. Этот исход, конечно, в
большей мере согласуется с реальными случаями высоких ставок в конфликтах
с шантажом.
В случае асимметричной игры желторотых сепаратриса исчезает и вероятность
захвата в состояние (СС) всегда близка к 1
5.3. Межвидовая борьба
Начнем с рассмотрения одной популяции, эволюционирующей во времени x(t)
при условии, что между отдельными особями данного вида нет сколько-нибудь
заметной борьбы за (ограниченные) ресурсы и что конкуренции нет также
между популяцией x(t) и популяцией, которая служит добычей для x(t). При
этих условиях применим закон Мальтуса, согласно которому скорость
увеличения размеров популяции пропорциональна ее текущим размерам, т. е.
dx/dt = ах или x(t) =х0 ехр (at), где а > 0 - так называемый коэффициент
рождаемости.
Таким образом, размеры популяции со временем возрастают экспоненциально.
Однако такая тенденция длится не вечно: перенаселенность неизбежно
порождает парные взаимодействия, которые пагубно сказываются на
экспоненциальном росте популяции либо из-за конкуренции за пространство и
пищу, либо вследствие распространения эпидемических заболеваний (см.
разд. 5.8). Немаловажное значение имеет и то обстоятельство, что особи,
образующие популяцию, не только рождаются, но и умирают. Если р- средний
показатель смертности (вызываемой всеми тремя перечисленными выше
причинами), то мы приходим к динамическому соотношению
известному под названием логистического уравнения.
Уравнение (5.3.1) может быть решено аналитически; из педагогических
соображений мы воспроизведем здесь это решение.
Разделяя в уравнении (5.3.1) переменные, получаем
15.2].
(5.3.1)
S У(а4г-р7)- dX = S dL
(5.3.2)
Так как
х (а - fix) ах а (а - $х) '
записываем уравнение (5.3.2) в виде
288
Глава 5
и, интегрируя, приходим к соотношению ¦^[\пх~ In (а - p*)J = у In где с -
постоянная интегрирования.
: t + с,
(5.3.3)
Рис. 5.17. Решение логистического уравнения.
Если х(0) -начальная популяция при / = 0, то
c=±lnr_JLWLJ.
a La - Эл: (0) J
Р* (0).
Таким образом, решение принимает вид
x(t) _ xjO)
In
a - P* (t)
a - P* (0)
= a t.
или
, x (0 [a - P* (0)] __
Ш x (0) [a - px (01 " '
(5.3.4)
(5.3.5)
(5.3.6)
Наконец, взяв экспоненты от правой и левой частей уравнения
(5.3.6), получим
*(0=-------r-*i?)aC.T* at • (5.3.7)
a - Р* (0) + Рдг (0) е
Равновесная популяция получается из (5.3.7), если взять предел от x{t)
при t-*-oо, а именно (рис. 5.17):
lim x(t) = ¦§¦¦
t-* 00 Р
(5.3.8)
Следующий логический шаг в нашем анализе состоит в рассмотрении
взаимосвязи двух популяций xi{t) и Xz{t). Конкурен-
Элементы теории игр
289
ция между этими двумя видами означает, что особи каждой из популяций
подавляют репродукцию особей другой популяции. (В' тривиальном случае -
