Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
стратегий представляет собой равновесие: ни один из двух игроков не может
повысить свой выигрыш (и, вообще говоря, лишь уменьшит его), если отойдет
от равновесия, в то время как другой игрок будет по-прежнему
придерживаться соглашения (принцип минимакса: одностороннее отклонение
наказывается).
272
Глава 5
Но если в рассматриваемой игре обстоятельства позволяют установить связь
между игроками и координировать стратегии, то ситуация меняется: в этом
случае игроки могут путем торгов (переговоров) согласиться относительно
пары стратегий, дающих преимущества каждому из них, В игре с постоянной
суммой такое невозможно, так как в такой игре, чем лучше исход игры для
одного игрока, тем он хуже для другого. В игре с непостоянной суммой
могут существовать исходы, предпочтительные для обоих игроков по
сравнению с другими возможными исходами.
t<|OI у ГЧ DU
Рис. 5.5. Множество исходов перего- Рис. 5.6. Множество исходов пере-
Итак, математическая задача состоит в том, чтобы на кривой возможных
исходов переговоров (множестве "предмет торга") найти одну точку (Gx,
Gy), которую можно было бы определить как рациональное решение, или
рациональное решение конфликта (рис. 5.5).
Можно доказать, что точка множества "предмет торга", совпадающая с
вершиной прямоугольника наибольшей площади, является решением задачи при
двух условиях: во-первых, множество "предмет торга" заранее задано и, во-
вторых, "противоположная" вершина прямоугольника - "статус-кво"--
такжезаранее задана.
В общем случае отнюдь не очевидно, какой должна быть в различных играх
точка "статус-кво". Например, можно было бы считать, что точка статус-кво
должна указывать выигрыш, который может гарантировать себе каждый игрок
(независимо от стратегии другого игрока). Мы уже знаем, что в нашей игре
координаты такой точки, соответственно, равны GXo = 12/5, G</0 = = 32/11.
Приняв эту точку за точку статус-кво, вычислим опти-
воров.
говоров для конкретной игры с матрицей, изображенной на рис. 5.4.
Элементы теории игр
273
мальные выигрыши в предположении, что множество "предмет
торга" - прямолинейный отрезок от точки (3,8) до точки (4,4)
(рис. 5.6). (Игроки действительно могут выбирать размеры выигрышей в
указанных пределах.)
При этих условиях оптимальную точку (G*, G*) можно вычислить из
соотношения
В = (G* - G*") {Gy - Gya) = шах; (5.2.1)
но из аналитического выражения для прямой, проходящей через точки (3.8) и
(4,4), следует, что
Gy = 20 - 4GX, (5.2.2)
12/5, G^o = 32/11, поэтому
(G*--------^20 - 4G* - -Ц) = шах,
иих
20-4g;-?-4(g;-^)=0.
Из последнего уравнения получаем
ИЛИ
G*x = 3,34; Gy = 6,65. (5.2.3)
Однако возникает вопрос относительно устойчивости выбранного статус-кво
GXo= 12/5, Gy0 = 32/11.
Чтобы гарантировать себе безопасный уровень выигрыша, игрок I должен
воспользоваться двумя своими стратегиями с вероятностями х = 4/5 и 1-х =
1 /5. Но если это сделает он, то игрок II может выиграть значительно
больше своего безопасного уровня: выбрав В2 в качестве чистой стратегии,
игрок II может получить выигрыш 8X4/5 = 32/5, превышающий его безопасный
уровень 32/11. Аналогично, если игрок II выбирает смешанную стратегию
(8/11, 3/11), обеспечивающую ему безопасный уровень выигрыша, то игрок I,
выбрав стратегию В\, может получить выигрыш 4X8/11=32/11, превышающий его
безопасный уровень (равный 12/5).
Следовательно, каждый игрок пытался бы отклониться от своей безопасной
смешанной стратегии, если бы знал, что его партнер будет придерживаться
этой стратегии. С другой стороны, если оба игрока отклонятся от
безопасной смешанной стратегии, то тем самым они определят новое статус-
кво, а
a Gx о== или
274
Глава 5
именно точку (0, 0). Ясно, что такая ситуация может возникнуть в том
случае, если игроки не придут к соглашению и каждый будет настаивать на
стратегии, обеспечивающей ему одностороннее преимущество.
Посмотрим теперь, какие оптимальные исходы получаются при том же
множестве "предмет торга", когда точка статус-кво совпадает с началом.
В этом случае Gx, = 0, Gy,= 0, поэтому условие (5.2.1) представимо в виде
F = (Gx - О) (20 - 4Gx - О) = шах, откуда, полагая dF/dGx = 0, получаем
G; = 1.20~3, G;~8. (5.2.4)
В общем случае предполагается, что для определения точки статус-кво
каждый из игроков независимо от другого выбирает (чистую или смешанную)
"стратегию угрозы"; имеется в виду, что, если игрокам не удается достичь
согласия, пара выбранных таким образом стратегий х, у определяет точку
статус-кво. Если же согласие достижимо, т. е. если точка на множестве
"предмет торга" может быть определена, то она находится в согласии с
решением описанной выше игры с переговорами, а пара стратегий угроз
задает точку статус-кво.
Предположим, что игрок I выбирает в качестве своей стратегии угрозы
смешанную стратегию, в которой стратегия А\ представлена с вероятностью
х, а стратегия Вх с вероятностью 1 -х. Аналогично, игрок II выбирает в
качестве своей стратегии угрозы смешанную стратегию, в которой стратегия
