Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
с непостоянной суммой не существует оптимальных стратегий (т. е. решений,
которые гарантировали бы устойчивость выбранной пары стратегий в том
смысле, что одностороннее или даже двустороннее отклонение от нее только
ухудшают положение игрока). В таких играх понятие рациональной стратегии
требует уточнения и обобщения. Оказывается, что ходы, предписываемые
соображениями индивидуальной рациональности, могут существенно отличаться
от ходов, выбираемых из соображений коллективной рациональности.
"Парадоксы" возникают, когда понятия "рационального решения", адекватные
на одном уровне конфликта, переносятся на другой уровень. Таким образом,
в случае игр двух лиц с непостоянной суммой понятие рациональной
стратегии как бы претерпевает бифуркацию на индивидуальную и коллективную
рациональную стратегию, причем весьма часто они не совпадают,
270
Глава 5
и возникает понятие торга как средства достижения субопти-мального
решения. Игры с непостоянной суммой мы подразделяем на две подкатегории:
а) игры с непостоянной суммой и торгом-,
б) парадоксальные игры с непостоянной суммой.
Рассмотрим каждую из этих групп отдельно.
5.2.1. Игры с непостоянной суммой и торгом
Начнем с одного характерного примера, показанного на рис. 5.4. По
существу мы следуем работе Рапопорта [5.1].
Игроку I необходимо выбрать либо строку Ль либо строку В1. Если бы он
знал, какую стратегию изберет игрок II, то принять решение для него не
составило бы особого труда: если бы
игрок II выбрал стратегию Л2, то игрок I выбрал бы стратегию В\, которая
обеспечивает ему выигрыш 4. Если бы игрок II выбрал стратегию В2, то
игрок I выбрал бы стратегию А\, которая обеспечивает ему выигрыш 3. Но
игрок II стоит перед такой же проблемой принятия решения. Если бы он был
уверен, что игрок I постарается обеспечить себе максимальный выигрыш
(выберет стратегию В\), то игрок II не мог бы выбрать для себя лучшей
стратегии, чем Л2. Но у игрока II нет уверенности в том, что игрок I не
захочет рисковать и не предпочтет стратегию Ах (в расчете на то, что
игрок II будет стремиться обеспечить себе максимальный выигрыш 8). В этом
случае игрок II мог бы получить максимальный выигрыш. Мы видим, что в
такой игре оптимальной чистой стратегии нет ии для одного игрока.
Посмотрим, как обстоит дело в случае смешанных стратегий.
Оставляя (на время) в стороне вопрос о выигрыше противника, каждый игрок
может выбрать смешанную стратегию, которая гарантирует ему минимальный
выигрыш независимо от того, какую стратегию выберет его противник.
Существует много алгоритмов, позволяющих найти такую смешанную стратегию.
Но предположим, что смешанная стратегия для игрока I определяется путем
вычисления разности платежей для каждой строки (для первой строки такая
разность равна 3 - 2= 1, для
Ш)
А, В*
¦------------------г-----------
к \ \ 1 \ \ 2 \ \ \ 8 \ \ 3 \ \
к \ 4 \ \ \ 4 \ N \ \ 0 \ 0 \
Рис. 5.4. Матрица 2X2 игры с непостоянной суммой ("с переговорами") .
Элементы теории игр
271
второй строки - 4 - 0 = 4), обращения полученных значений и случайного
четырехкратного выбора А\ при каждом выборе Вь Аналогично, игрок II
приписывает стратегии А2 вероятность 8/11 и стратегии В2 вероятность
3/11.
Игрок I, приписывая стратегии А\ вероятность 4/5 и стратегии В\
вероятность 1/5, гарантирует себе выигрыш
-i--i<2 + 3) + i. 1(4 + 0)--1
(в предположении о полном неведении - с вероятностями (1/2, 1/2) -
относительно вероятностей выбора игроком II стратегий А2, В2).
Аналогично игрок II гарантирует себе выигрыш
1 8 ,, , | 1 3 /0 , ns 32
т.-гг(1+4) + т.-п-(8 + 0) = тг.
На первый взгляд кажется, что эту пару смешанных стратегий (гарантирующих
каждому игроку "прожиточный минимум") можно принять за "решение" игры.
Однако это решение не удовлетворительно:: оба игрока могли бы выиграть
больше указанных выше гарантированных минимумов, если бы, например, игрок
I выбрал стратегию Ви а игрок II-стратегию А2. Для того, чтобы получить
более крупные выигрыши, игрокам необходимо координировать свои стратегии.
Разумеется, проблема выработки, соглашения о выборе той или иной пары
стратегий (или смешанную стратегию) остается, так как при выборе пары
стратегий (В\, А2) преимущество получает игрок I, а при выборе пары
стратегий (А\, В2) - игрок II. Но относительно какой бы из этих двух пар
(или смешанной стратегии) игроки ни пришли к соглашению, любая из них
обеспечивает каждому игроку выигрыш, превышающий гарантированный уровень,
соответственно в 12/5 и 32/11.
Неспособность координировать стратегии в данном случае надлежит отнести
за счет отсутствия связи между двумя партнерами. Предположим, что игроки
каким-то образом договорились о выборе пары стратегий (А\, В2) [или (В\,
А2)\. Тогда ни у одного из игроков не было бы мотива для нарушения
соглашения, так как выбор игроком другой стратегии, в то время как его
противник придерживается достигнутого соглашения, уменьшил бы выигрыш
"нарушителя". Таким образом, каждая из двух приведенных выше пар
