Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
максимизировать свои минимальные выигрыши, а нападающая сторона -
минимизировать свои максимальные выигрыши.
Нападающая сторона рассуждает следующим образом: "Если я изберу стратегию
Л2, то в худшем случае мне придется ждать 7 дней до столкновения. Если я
выберу стратегию В2, то в худшем случае мне придется ждать 3 дня. Если я
остановлю свой выбор на стратегии С2, то мне придется ждать не больше 5
дней, а если я предпочту воспользоваться стратегией D2, то ждать мне
придется самое большее 6 дней. Это - мои максимальные проигрыши. Чтобы
минимизировать их, я выбираю стратегию В2 (3 дня)".
Обороняющаяся сторона рассуждает следующим образом: "Моя задача состоит в
том, чтобы измотать противника. Если я выберу стратегию А\, то в худшем
случае мне придется ждать 1 день. Если я предпочту выбрать стратегию В\,
то ждать придется 2 дня. Стратегия Сi дает 3 дня и стратегия Д - 1 день.
Это - мои минимальные выигрыши. Чтобы максимизировать их, я выбираю
стратегию Д (3 дня)".
И участники игры выбирают квадрат (Д, В2), в который вписано число,
минимальное среди чисел, стоящих в той же строке, и максимальное среди
чисел, стоящих в том же столбце. Эта пара стратегий устойчива, так как
при попытке со стороны каждого игрока отклониться от нее в одностороннем
порядке он увеличивает свой проигрыш.
5.1.4. Смешанные стратегии
В этом случае доминирующей стратегии нет ни у одного игрока, а матрица
платежей не имеет седловой точки, поэтому игра не может быть решена одним
ходом. В общей матрице платежей 2X2 (рис. 5.1) это сводится к
неравенствам а > d > > b > с. При таких условиях игроки предпочитают
придерживаться смешанных стратегий, т. е. делают много ходов. Пусть х -
вероятность того, что игрок I выбирает ход А\, а у - вероятность того,
что игрок II выберет ход А2. При таких условиях средние размеры
(математическое ожидание) выигрыша составляют величину
Gx(x, у) = аху + b(l - х)у +сх(\ - у) + d(l - х)(1 - у) (5.1.1) для
игрока I и
Gy(x, у) = п -Gx(x, у) (5.1.2)
для игрока II.
268
Глава 5
Логика принятия стратегии At или Bj(i, /е (1, 2)] игроками очевидным
образом связана со средними выигрышами, а именно: скорость изменения
вероятности х или у (т. е. dx/dt или dy/dt) пропорциональна производной
от средней прибыли, получаемой игроком, принявшим, соответственно,
стратегию А\ или А2, Bi или В2. Следовательно, мы можем записать
уравнения
dx dGx
(5.1.4)
dt дх '
dy dGy (5.1.3)
dt dy
Итак, логику участников игры мы трансформировали, или "свели" к двум
связанным линейным дифференциальным уравнениям. Подставляя вместо Gx и Gy
соответствующие выражения, получаем
¦^~ = у(а -b -c + d) + c-d,
-fa - х (- а-\- b с - d) - b d,
откуда находим стационарное состояние
* d Ъ * d ~~ с /
Х = a - b - c + d ' lJ = a - b - c + d ' (5.1.5)
Исследуем его на устойчивость.
Для этого введем возмущения х' = х-х* и у'= у - у*. В них
дифференциальные уравнения запишутся в виде
Чг = У' (а - b - с + d),
dy' <5Л-6>
-jf = х' (- а + b + с - d),
поэтому
=--f. <5Л-7>
и мы получаем для возмущений круговую траекторию, задаваемую
параметрическими уравнениями х' = cos й, y' = sinfr (центр окружности
совпадает с началом координат).
Интеграл по траектории
2л
J G(x', y')dQ
о
равен нулю, так как G(x', у') содержит только члены первой степени по х',
у' и произведение х'у', т. е. члены первой степени
Элементы теории игр
269
по cos'd, sin d и произведение sind-cos d, а интегралы от них по
траектории равны нулю. Мы заключаем, что фокус (х*, у*) нейтрально
устойчив (так как наши исходные дифференциальные уравнения по существу
совпадают с уравнениями гармонического осциллятора без затухания).
5.2. Игры с непостоянной суммой
Среди игр двух лиц необходимо различать игры, в которых интересы
участников диаметрально противоположны (игры с постоянной или нулевой
суммой), и игры, в которых интересы участников частично противоположны, а
частично совпадают (игры с непостоянной суммой). В играх с постоянной
суммой сумма выигрышей двух игроков всегда одна и та же независимо от
того, как заканчивается игра: чем больше выигрыш одного игрока, тем
меньше выигрыш другого. Именно в этом и заключается "диаметральная
противоположность" интересов участников игры.
Решение игры двух лиц с постоянной суммой - это пара чистых или смешанных
стратегий (имеющихся в распоряжении игроков), которые находятся в
равновесии: ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, если его
партнер придерживается стратегии, предписанной решением игры.
В играх с непостоянной суммой у участников в общем случае имеются общие
совпадающие интересы и противоположные игры. Такие игры иногда называют
играми со смешанными мотивами. Для игр с непостоянной суммой можно
доказать существование положений равновесия, но уже невозможно
предписывать "оптимальные" стратегии в терминах этих положений
равновесия, так как выбор каждым игроком стратегий, содержащих положения
равновесия, еще не гарантирует равновесного исхода игры. Поэтому в играх
