Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
приводит к рав-
П ространственное осреднение и теория турбулентности 289
ным оценкам величин пульсаций w\ и ш2. Так, через границу слоя Х2 = const
происходит обмен микроэлементов жидкости, причем указанная разница Av
импульсов приходящих и уходящих частиц будет составлять
А и (рш.) = р?/. (Хг + 1)- р U, (Х2) = р I (dUjdX2), (5.11)
| Л[/а>21 ~ |Aya>i | ~ l\ dUi/dX21, р = const. (5.12)
"Среднее" микродвижение происходит одновременно в "среднем" поле
внутренних угловых скоростей со. Будем соответственно считать, что
частица-мигрант, совершая пробег длины I, проходит через плоскую вихревую
пелену интенсивности /шсо. Тогда частицы, пересекающие пелену навстречу
друг другу, перенесут дополнительный импульс, пропорциональный
интенсивности пелены [58]:
A(r) (po>i) = PL(r) - (-p/ffl(r)) = 2р (5.13)
Существенно, что наличие вихревой пелены сказывается лишь на
тангенциальных (по отношению к пелене) компонентах скорости, а ее
нормальные компоненты не меняются. Поэтому
pwl = pl(dUl/dXS!) + 2pl(i>(j), \w2\ = l\dUjdX2\. (5.14)
Если теперь воспользоваться оценками (5.14) и, кроме того, учесть выбор
[88] знака для w2 (напряжение должно иметь тот же знак, что и переносимая
величина), то, согласно (5.10), получим
#12 = р/1 dUijdX21 (/ dtJJdXt + 2/сои). (5.15)
Сопоставление с формулами (5.8) приводит к оценкам турбулентной сдвиговой
вязкости v и вращательной вязкости у:
v = l2\dLf1/dX2\, y = lla\dU/dXl\. (5.16)
Если же оценивать компоненту /?2ь то следует изучать движение частиц
через слой Xi = const, причем вихревая пелена окажется [58]
ориентированной по-другому. Поэтому имеем
\Wi\ = l\dU1/dX2\, pw2 = pl(dUi/dX2) -2pla(p, (5.17)
R21 = pi I dU\/dX21 (I dUi/dX2 - 21и").
Подсчитаем пульсацию переносимого момента количества движения:
д (Q + со) .* , 3J
дХ2 ' 1 дХ2
т* = Лд(^2&) +(а + ю)/у^-. (5.18)
19 Заказ № 146
290 В. Н. Николаевский
Принимая аналогичные соображения о выборе знаков, что и выше, получим
выражение для моментного напряжения:
Рз/ = J12
dU1
дХ2
~~dX~L + 111 (Q + ")
dUi
дХ2
д J
dXi
(5.19)
Отсюда имеем следующие выражения для градиентно-вихревой вязкости р и
коэффициента перемешивания ? момента инерции:
ц
1
llj (Q + и)
dUt
дХ2
(5.20)
Обратим теперь внимание, что удельный момент инерции /, равный отношению
полярного момента инерции средней частицы к ее объему (в рассматриваемом
случае - к ее площади) допускает оценку /=(1/2)г2, где г - средний радиус
моля. Если внутренняя структура турбулентного континуума характеризуется
лишь одним линейным масштабом /, то г~1 [58], и уравнение (3.12)
приобретает смысл уравнения эволюции прандт-левского пути смешения /.
Видно, что эволюция линейного масштаба (5.7) сводится к уравнению
диффузии (с конвективным членом)
дР
д t
Ui
дР
dXj дХ
0=<-Ф*;*> (5.21)
относительно квадрата пути смешения. Эта величина может быть оценена (см.
также [43]) и как отношение энергии турбулентного хаоса Е к диссипации D,
т. е.
Р ~ E/D. (5.22)
Тогда уравнение (5.21) может соответствовать некоторой энергетической
трактовке, отличающейся, однако, от более ранних предложений.
Диффузионный характер уравнения соответствует процессу простого убывания
линейного масштаба вихря в процессе турбулентного перемешивания. Вместе с
тем, как известно [37], диффузия вихря в вязкой жидкости, описываемая
уравнением
т^гехр(~^г)- ^ = const' <5-23)
Ф:
приводит к убыванию его угловой скорости и к столь значительному росту
эффективного радиуса вихря, что момент количества движения выражается
расходящимся интегралом [74]. Если же поставить условие сохранения
суммарного момента количества движения (М = рЛ) при вихревом движении в
вязкой жидкости, то решение Дж. Тейлора [78], имеющее вид
(' -тлг)ир(-тйД (5 24)
ф=
2п\аР
Пространственное осреднение и теория турбулентности 291
соответствует некоторому конечному росту радиуса вихря: г ¦
= ^2vat.
Таким образом, если турбулентное перемешивание должно улавливать эффект
уменьшения линейного масштаба вихря (физически - за счет его
дискретизации), то вязкое разъедание описывает рост масшатба г, а вместе
с тем и момента инерции вихря.
В литературе хорошо известна теория переноса вихря Дж. Тейлора [17, 146],
предложенная [78] в качестве альтернативы теории переноса импульса Л.
Прандтля [68] (т. е. использованию баланса импульса (5.6) и замыкающей
связи (5.15) при /ш = 0). или, иначе, традиционной гипотезе о симметрии
тензора рейнольдсовых напряжений (Л?ы - Я21) • Уравнение Тейлора
строилось ее автором на основе кинетического анализа процесса смешения в
двумерном поле скоростей. В этом случае, однако, само уравнение диффузии
вихря, следующее из уравнений Навье-Стокса, имеет дивергентный вид (5Ф
. дФи,- д2ф
дt dxj V° дх,- дXj ' ^
Его пространственное осреднение, т. е. по поперечному сечению вихревых
трубок с учетом правила (2.20), приводит [2] (при пренебрежении
молекулярной вязкостью) к уравнению
+ +Д_ + тХ=_^_<_ф.ч>). (5.26)
Здесь формально введен источник, пропорциональный следующей разности
