Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим случай, когда турбулентно-диффузионный перенос энтропии не
учитывается. Тогда уравнение (4.20) упрощается и принимает вид
где введена диссипация D механической энергии среднего движения. Эта
формула наглядно показывает, что энтропия 5 подсистемы турбулентного
хаоса растет в том случае, когда диссипация превышает сток Д энергии в
подсистему молекулярного хаоса, обусловленный вязким гашением
турбулентных пульсаций. В противном случае энтропия 5 может уменьшаться,
что является характерной чертой термодинамически открытых систем (или
иначе - подсистем).
В локально-стационарном состоянии dSjdt - 0, что означает равенство
интенсивности диссипации стоку турбулентной энергии на молекулярный
уровень [139]
Согласно экспериментально подтвержденной гипотезе А. Н. Колмогорова [35],
характерным параметром в таких ситуациях является поток энергии по
иерархии турбулентных вихрей вплоть до молекулярного уровня, т. е. в
термодинамической трактовке сам сток Д. В силу условия (4.23) параметром
состояния будет также и интенсивность диссипации D, как это
предполагалось В. В. Новожиловым [67]. Таким образом, коэффициенты в
феноменологических (онзагеровских) связях = LfiaXa термодинамических сил
Ха и потоков W$, конструируемых по правилам термодинамики необратимых
процессов, следует искать в виде функций от просто вычисляемой диссипации
D в поле средних турбулентных скоростей.
(4.21)
- ? --= - m _ д) dt 0 0 1
(4.22)
D = Д = const.
(4.23)
284 В. Н. Николаевский
Соответствующие связи будем искать, исходя из определения 2 согласно
уравнению (4.20). Тогда получим замыкающие реологические связи
ns ^ О А Л _ [ dU/п | DUп ^
Rii з Rk'AkAj - \ijmn{dXn + дХт)'
Rij = 2yijnmznmkuk, р;/ = 2y\ijkn - {Qk + т)
дХт
Ц/ = < - (рEf w,), = kii-щ- (~^-) , (4.24)
характерные для асимметричной гидродинамики (или иначе - для
гидродинамики Коссера) [6, 108]. Однако тензорные турбулентные
коэффициенты вязкости и теплопроводности не являются материальными
константами, а сильно меняющимися функциями нолей средних турбулентных
параметров. Некоторые более сложные конструкции замыкающих связей
обсуждались ранее [49], в том числе в связи с проблемами турбулентности
неньютоновых жидкостей (учет упругих составляющих) или же для быстро
меняющихся турбулентных структур (нелокальные связи) [59, 106]. Учет
анизотропии следует проводить с соблюдением соответствующих правил [25,
43, 73, 150].
Специфика турбулентного реологического замыкания обусловлена тем, что
струкутура турбулентного поля сама зависит от термодинамических потоков
Wp. Эта зависимость означает, что выключение одной (или части) сил Ха
(потоков Wp) может приводить к изменению не только перекрестных
коэффициентов Lap, но и диагональных элементов этой онзагеровской
матрицы. Подобная ситуация типична для самоорганизующихся
(синэнергических) систем [117]. В силу этого обстоятельства обычное
требование положительной определенности каждого из слагаемых в сумме
произведений Б = LapXaXp становится необязательным- нужно лишь, чтобы
величина Б (т. е. суммарная диссипация D) была строго положительна.
Отсюда наложение различных потоков в принципе может приводить к
отрицательным значениям отдельных элементов матрицы Lap. Это, вероятно,
объясняет эффект отрицательной вязкости [75]. Однако следует все же иметь
в виду, что заключение об отрицательности вязкости в некоторых
турбулентных потоках основано
на сопоставлении профилей средних величин О,- и Rs.. или Ui
1/
и Rsсм. [75, 86], при их интерпретации в рамках классического подхода,
без учета антисимметричной составляющей рей-нольдсовых напряжений.
Простейшая термодинамически оправданная гипотеза, как это было отмечено
выше, состоит в зависимости реологических
Прост ранет венное осреднение и теория турбулентности 285
коэффициентов от диссипации D. В частности, турбулентная сдвиговая
вязкость v должна зависеть от D. Если эффекты вращения он, Qft
несущественны, то в предположении об изотропии и несжимаемости имеем
и, разрешая оба равенства относительно турбулентной вязкости, получим
соотношение [139]
соответствующее анализу размерности, причем I-параметр, имеющий
размерность длины.
В плоскопараллельном потоке (Ui = Ul(X2), U% = 0) из формулы (4.26)
непосредственно следует знаменитая формула Л. Прандтля [68, 69]:
Иначе говоря, проводимый здесь термодинамический анализ объединяет многие
известные варианты теории турбулентности.
Более того, уже простейшее определение (4.26) дает правильное обобщение
формулы Прандтля на случай несколько более сложных потоков, чем
плоскопараллельное течение. Рассмотрим плоскую задачу о свободной границе
струи (рис. 1), когда компоненты скорости выражаются [42, 88] через
функцию тока типа
и удовлетворяют уравнениям Рейнольдса - баланса импульса (2.23) и
несжимаемости (2.24), т. е. в данном случае уравнениям
v==P|d(/1/aXg|.
(4.27)
ф = ад^(т1), r\ = X2jX{
(4.28)
т j dU 1 . j у dV\ 1 dR\2 dU\ . dU2
