Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
280 В. Н. Николаевский
Поток кинетической энергии будем преобразовывать аналогично потокам
импульса и кинетического момента. Тогда
pUiUiUj'j. " рщи^ Uj + рЫ/Ы/) =
= Л- <p> UiUiUj + Ui WiW^j, + Uj WiW^j. -f
+ <ф;т> <Jkm (Q/a + (r)ik) (r)/>/ + PE*wp. (4.6)
Заметим, что можно также ввести следующие представления: Ui =¦ {Qpm
"Ь ^ptn) ]Уj
(?2^ 03/) (Zmpiiktrfi^pk^ j ? j === (^г 3" *-'-*0 f-^г/ *
<р&и/> = <р> <&> ui + <(р(r))*оу/)/;
&ikl '\P^i^fe/>fe &iklRlki j j ^ i ""H <\^O^//'.0
<eiikiiFk) -- Ci\ <Fkuky л (Fk) Uk + (F*kwk) + (р1фк"1п)\
(F^l) = С, (Qt -f со,) + П. (4.7)
Уравнение баланса полной энергии (2.13) теперь принимает вид
<р> {~§г + и> ~шг) (<s> + ~т UiUi + тг1ш -щт+
+ У Ikm. (Him + Willi) • {Qik + (r)ifc) + ^ - (Ll iRij -j- (?2/
-|- Wt) p?j- +
+ \aij)j Ui) + (Fi) Ui-\- Ci (Q, Ч~ оj,) Ч~ -дщ- {-<((р&)": Wj)j -
- <(p?)* Wj)j + <OijWj)j + <qj}j} + <Q> + IT. (4.8) Умножим баланс
момента количества движения (3.22) на Q,,
баланс (3.23) - на (Q, + co,-), а уравнение эволюции моментов инерции
(3.10) и (3.12) - на
~2~ ?ku&mpiQiQp* ~2~?ku&mpi (П/ Ч~ (0/) (?2р Ч- сор) (4.9)
соответственно. Кроме того, умножив (2.23) на скорость Ui, получим так
называемое уравнение живых сил. Вычитание суммы указанных произведений из
уравнения баланса полной энергии (4.8) дает
<р> (lГ + и> -Щ-) "ё> + Е) = № + т^ Х {ж~ + ~д?г) ~
- (Ru Ч- xf/) е,74со* + 1хц + -щ<- <({&)* Щ>,- (4.10)
- <(рE)*Wj}j Ч- <OijWj')j Ч- <с?/>/) Ч- <Q> Ч- П,
где Rsu = (1/2) (Ru Rfi), Rfj = (1/2) (/?t7 - Rjt) - симметричные и
антисимметричные составляющие тензоров напряжений.
Пространственное осреднение и теория турбулентности 281
С другой стороны, можно осреднить по объему Д1/ уравнение баланса
энтропии s, которое для микрообъема dv имеет вид
д . д . д Qi /"114
ps + ~dJJ~ psU' = 0 + ~Г ' <4Л1>
1 / I х \ dui . Qi дТ . Q
о- т (оц + pbij) дх/ + г2 дх/ + т ,
где а - скорость локального роста энтропии, q^T - поток энтропии, Т -
температура. В результате получим
<р> (ж<s> + Ui <s>) = <а> + ~Щ (~т~ ~ <(ps)* '
, \ 1 // \ , / \ х \ dUi . (Q> . (Qi '/! д (Т) , tp
<.°У - (Т) (<а'7>/+ <Р> 6о) gXj (Т) + (Т)2 dXj ^ (Т) '
(4.12)
где появился турбулентно-диффузионный (пульсационный) перенос энтропии в
макромасштабе (в микромасштабе ему соответствует конвективный поток
энтропии), а также ее источник ф, соответствующий вязкой диссипации
механической энергии (переводу ее в тепло) на флуктуациях поля скоростей
деформаций:
Ф = <(оц - (dwifdxj)}. (4.13)
где o'. = Gij + рбij - девиатор тензора напряжений.
Если осреднить по объему А1/ уравнение баланса внутренней энергии &, т.
е. уравнение притока тепла в микрообъеме
др& , dp&Uj ди dq j
= + <4Л4>
то получим
. .(d{%) , тт d(S)\ , . dUi . d(qj)j
<р> (т + U> -Щ-) = <°">' -ЖГ+-дх~ + <Q> + +-^7 <-(р^г^/>у-<(ао - <^/>/>
(-|^-St-))* (4Л5)
Из сравнения (4.12) и (4.15) следует соотношение Гиббса для средних
энтропии <s> и энергии i&'y
dt ^ ' dt P dt <p) V dt dt 1 дХ/ /'
(4.16)
282 В. Н. Николаевский
если использовать равенство
-ЛС- <-<рУ)*"р,>, + -Щ- <lpsr W,), +
+ 'S"-<^(-§r-иг))- ('*.17)
Соотношение Гиббса для средних значений истинных внутренних энергии и
энтропии, см. [48]. как нетрудно видеть, не выделяет параметров,
характеризующих внутреннюю структуру турбулентного континуума. Поэтому
обратим внимание на внутреннюю энергию Е собственно турбулентного хаоса.
Уравнение, определяющее ее, получается путем сопоставления разности
уравнений (4.10) и (4.15) [59]
<р> {-§r + ui ~юсг)Е = ^ 4" ("5У7 + Ж~) ~ ^z8*/*(r)* +
+~+^г<_{рЕ)*Ш/>/~w+п' {4'18)
где Ч*- = ф - д (a* Wi}j/dXj - сток турбулентной энергии.
Работа турбулентных напряжений /?,/, р,/ над полем средних поступательных
и угловых скоростей приводит к диссипации механической энергии среднего
поля в энергию хаотического турбулентного движения, имеющего "тепловой"
характер в масштабе AV (но механический - в масштабе dv). Соответственно
можно ввести феноменологически турбулентную энтропию 5 и температуру (c)
турбулизации следующим образом [59, 139]:
еТГ + 4' -Лfy-fpE)"; =
= ("/-~fR'AA<)- -Н-ИГ + w)-
па г d (Q;-}" /л im
- Rij?ijk(r)k + Р</ ---- > (4.19)
или
dS_, а / <-(р?)*а>у)/Ч
dt + 0 дХ,- V 0 ) ' ' '
где 2- локальное порождение турбулентной энтропии, 47(c)- сток турбулентной
энтропии 5. Работа рейнольдсовых и других турбулентных напряжений
приводит к росту энтропии (хаоса) турбулентности, а вязкая диссипация
уменьшает энтропию (хаос) турбулизации. Интенсивность стока 4*7(c) энтропии
5 может быть иначе названа притоком иегэнтропин (если восполь-
Пространственное осреднение и теория турбулентности 283
зоваться терминологией Э. Шредингера, предложенной им для биологических
систем [89]).
Для турбулентного хаоса также справедливо соотношение Гиббса
но в нем фигурируют уже турбулентные напряжения. Введение двух энтропий S
и s соответствует представлению [59] турбулентного континуума в виде
термодинамического комплекса, сложенного из двух подсистем -
турбулентного и молекулярного хаоса.
