Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вычитание их аналога, получаемого при умножении на величины ХкХт. . .,
приводит к цепочке уравнений [40, 60]
((Rik РЩЦ&) • • Rk == ((Rik с.т • • '? "К
I д " 0 , , д
дХ ¦ \P^'i^,j^k&m • • •// (Fic,kr,m • • ' ) -|- ^ ^ . ((r)ijbkim •••!)/
(2.25)
моментов возрастающего порядка Мцит=((ац - р•-Ь, осредненных по сечениям
с нормалью по второму индексу. При осреднении по времени (или при
статистическом традиционном осреднении) аналогом уравнений (2.25)
является известная цепочка Фридмана-Келлера [81].
Обрыв цепочки (2.25) на п-и порядке приводит, как и обычно в теории
турбулентности, к необходимости введения замыкающих соотношений. В
статистической теории турбулентно-
18 Заказ № 146
274 В. Н. Николаевский
сти они ищутся в виде связей между корреляционными моментами высшего
ранга. В рассматриваемом случае объемного осреднения выбор замыкающих
связей проводится в соответствии с реологическими правилами континуальной
механики (иначе говоря, согласно термодинамике необратимых процессов),
поскольку турбулизованная жидкость при этом считается сплошной средой с
внутренней структурой.
В частном и важном случае обрыв цепочки осуществляется на уравнении
третьего порядка, т. е. на уравнении баланса момента количества движения.
3. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЭВОЛЮЦИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
Умножение уравнения (2.21) на альтернирующий тензор Леви-Чивиты е,-/*
приводит к балансу момента количества движения относительно центра масс
X,- объема ДУ в форме
3 дХ] / "Ь &iik M-foUiy i =
=-ту<е
Считаем, что весь объем ДУ заполнен п вихрями, причем
в /-окрестности центра каждого из них поле флуктуации скорости
представимо в виде
wk - ?m, Cm= t,m Im, (3-2)
G'S т
где wk - скорость движения центра масс вихря, 0^ |?т] ^/. Формула (3.2)
означает моделирование вихря в виде твердотельного образования ("моля"
Прандтля).
Левая часть уравнения (3.2) содержит скорость локального изменения
среднего кинетического момента М, жидкости в объеме AV. Для поля скорости
(2.16), (3.2) средняя величина от Mi последовательно преобразуется
следующим образом:
(MiJ = (EnkpUfct.i') = ?;/? (Р^тьйУ (X'tlkP'(r) 1&1У
1 п ^ I ml + j kPf(r) tMiy + ^ilk^krrJ-ml) • (3.3)
Здесь введены следующие величины:
I ml -- . ,, ^ OCmil ДУ
Пространственное осреднение и теория турбулентности 275
где Imt - приведенный момент инерции жидкости в объеме ЛУ, Фkm - полная
скорость дисторсии турбулентного моля объема А У/, imi - его момент
инерции, отнесенный к единице объема. Итак, первое слагаемое <ЛТ>,
согласно правой части равенств (3.3), есть момент количества движения
поля средней скорости в объеме ДУ, второе - средний момент количества
движения нерегулярного вихря масштаба Л, т. е. всего ЛИ, а третье -
момент, соответствующий мелкомасштабной турбулентности. Детерминированный
вклад второго слагаемого может быть учтен при анализе стационарных в
среднем турбулентных потоков, когда проводится одновременное осреднение
по большому интервалу времени. В данном контексте будем, однако, им
пренебрегать.
Уравнение эволюции момента инерции находится следующим образом. Умножим
уравнение неразрывности (2.1) диадно на ёиgm. Полученное соотношение
d9lf-- + -Щ РЩЫт = РИ/ДА; + рИДАг/ (3-5)
осредним по ЛИ. Тогда получим [59]
~Щ~ ^РгЙи) 3 ) = (pUkim) ~Т (рМ/п^кУ • (3-6)
Для выделения моментов инерции, связанных с рассмотренными выше вихревыми
движениями в объеме ЛУ, снова пред-
ставим радиус-вектор в виде gm = sm+?m. Тогда момент инерции объема ДУ =
пДУ/, Д Vi - объем индивидуального моля, преобразуется следующим образом:
~ ~ГГ7~ У! (Р^&т Д^/) 4~ Jkm, Jkm = ~ У] Чт- (3.7)
1 = 1 1 = 1
Здесь Jkm - среднее (для ДУ) значение момента инерции моля ikm, причем
Jkm~ Р~А2/п. Как и следовало ожидать, при п-+оо величина Jkm-^O и
представление (3.7) превращается в тождество. Однако при учете
турбулентной мезоструктуры подобный предельный переход недопустим, а
потому будем использовать равенство
Ikm = Ikm + Jkm, (3.8)
Где -приведенный момент инерции для центров масс мел-18*
276 В. Н. Николаевский
комасштабных вихрей в Л1/, причем 1%т~*~^кт ПРИ п->оо. Тогда уравнение
(2.10) преобразуется к виду
д (/со | /¦ \ | д (/(о \ г \ т 7 г(r) dUk | дсо dUm |
Vkm -т J km) -r QX - v ftm "Г J km) u i - lnm gjf- "r 'kn " ¦
4~ ((r)knimn "T Фmn^nk) ~dX~i~ m ikm) j• (3*9)
С другой стороны, для момента инерции Ikm жидкости в единице объема AV
можно аналогично (или же методом [55]) получить балансовое соотношение
dhrn , dIkmUj __dUk dUm , ,n,
dt ^ dXj ~ dXn nm^~ dXn nk' v '
В предположении1, что /ьт"/" , разность балансов (3.9) и (3.10) дает
уравнение эволюции момента инерции турбулентного поля
^km Н clXj ^kmUj == <(Фknimn Н- Фmnink) дХj / j, (3.11)
где использовано условие {IkmW^i = hm <wdi = 0.
Вводя далее пульсации i* момента инерции моля и пульсации Ф* тензора
градиента скорости
ikm == ikm Ч- Jkmt Ф kn = ФIn + (dUk/dXn) + (dw k/dlny,
преобразуем далее уравнение эволюции (3.11) следующим образом:
Т+ 91 6x}L = 1кпФтп + + Qkm + • (ЗЛ2>
