Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
конструируемые в соответствии с определением Коши, различаются всего лишь
на величину порядка О (АХ)2, и, казалось бы, при предельных переходах при
ДХ->-0 разница между этими средними становится пренебрежимо малой. На
этой основе асимметричная гидромеханика суспензий, и в частности работа
Г. Бреннера [12], была подвергнута [54] острой, но несправедливой критике
(по этому поводу см. [9, 62, 63, 140]).
В самом деле, макронапряжения (а,/)/ могут оказаться несимметричными и
при симметрии микротензора оц, когда и <Ojj> симметричен. Умножение при
этом равенства (9.9) на альтернирующий тензор гиц приводит к результату
еы/<<!">,¦ да О (ДХ)*, (9.10)
который согласуется с формулой (2.21). Согласно выражению (9.10),
антисимметричная часть макронапряжений имеет порядок, по крайней мере, /2
[140], т. е. сравнима с удельным моментом инерции / взвешенной частицы
(вихря). Так, в суспензии взвешенных частиц М,- пропорционален til2, где
п - число частиц в объеме AV [3]. Хотя масштаб I и мал, значение М,-
отнюдь не пренебрежимо по сравнению с другими членами, поскольку угловая
скорость может быть велика (по поводу подобных ситуаций см. классический
курс по механике сплошных сред Л. И. Седова [73]).
Соответственно уравнения для внутренних моментов фаз, получаемые путем
пространственного осреднения для суспензий вращающихся частиц, имеют вид
[3, 61]
С§) + Zi + &tjk (OijyT = о,
с?> - Zt + = /(2) (-<%)Р- + и?' ) - (9-11)
где - внешние объемно-распределенные моменты (например, из-за магнитного
поля), <Фг><2>= (Я^ + со*2)), Z;- межфазо-
вое моментное взаимодействие, оцениваемое из задачи о вращении сферы
радиуса I с угловой скоростью со,- относительно вращающейся жидкости
(а=1) вязкости v (N - число частиц в единице объема):
- урсо2, y = 6v(l-m) - 8nr3vN. (9-12)
312 В. Н. Николаевский
Отсюда вращательная вязкость v оказывается линейно пропорциональной
объемной концентрации (1 - т) твердой фазы. Обратим также внимание, что
при CW+C(r) = С/, U^ - U^ си-
i i i i
стема (9.11), (9.12) может быть представлена в виде уравнений момента
количества движения микрополярной жидкости
с помощью реологического определения антисимметричной части тензора
напряжений
Этот факт был использован при попытках приложения модели микрополярной
жидкости (и ее вариантов) к теории суспензий [98, 123-125].
Что касается уравнений неразрывности масс и импульса
(9.1), (9.2), то после необходимых преобразований и введения замыкающих
связей (см. [61, 30]) они принимают вид
ft = a W ~ U?) ~ Ъъ, (Uf' - Uf) (ФР - 0У>).
а (т) - (9/2) р (1 - tn)jl2, b = (3/4) р, (1 - т), (9.19)
о*. - симметричный тензор вязких напряжений, <х" - антисимметричная часть
тензора, v*-эффективный (по А. Эйнштейну [91]) коэффициент вязкости
жидкой фазы. Эти уравнения спра-
(9.13)
ег/А (o'//)/0 = PY(r)/-
(9.14)
дтр, . dt + dXf
(9.15)
~§f~ [(! т) Ря]
^1^1° др
-+-щ-т{о'ц+of/) - mRi, (9.17)
где
djdt = dldt + Uf dldX}, malj = - (2/3) Li* (dU^/dXd + + p* (dU^/dXi +
dU^/dXi),
Пространственное осреднение и теория турбулентности 313
ведлпвы для разбавленных суспензий, т. е. при значениях т, близких к
единице. Они соответствуют ламинарному движению взвешенных частиц с
собственным вращением. Сила межфа-зового взаимодействия может включать в
себя и подъемную силу Саффмена [12], а уравнения (9.11), (9.18) -
напряжения для твердой фазы (см., например, [61, 65]). Применения модели
широко обсуждались в печати (см., например, [54, 61, 87]) и здесь
повторяться не будут.
Р. И. Нигматулин [54] предложил избегать явного введения
антисимметричного микротензора напряжений а?., заменив его
13
дивергенцию на эквивалентный вектор
ai = deaiildXj, (9.20)
а затем включить щ в силу межфазового взаимодействия, R* =
= cii + Ri, фактически переопределив последнюю. Заметим, однако, что
реальная сила Ri является внутренней для системы в АР, а потому в
уравнении баланса импульса для системы в целом она не будет фигурировать
- в отличие от а,-, т. е. от о" , Если же считать, что именно R*--
внутренняя сила, то аа. действительно исчезнет из баланса суммарного
импульса,
но соответствующие модели динамики суспензии [54] оказываются более
частными, чем формулируемая здесь. Они будут соответствовать внутреннему
взаимному балансу объемно-распределенных по фазам моментов.
Сам прием введения объемной силы ai вместо дивергенции напряжений оц
хорошо известен, см., например, стр. 634 монографии [39]. Отметим попутно
[62], что в этой книге был получен неверный вывод об обязательной
симметрии тензора упругих напряжений (стр. 636). Ошибка состояла в
утверждении, что выражение для силового внешнего воздействия, следующее
из уравнений равновесия (ср. с формулой (2.21)),
Mlk = (оцХк - вкМ) dSi + f (okl - oik) dV, (9.21) s v
сводится к поверхностному интегралу только в случае oik - = оhi. На самом
деле возможна, например, ситуация, когда
оы - 0lk - diiiki/dXj, (9.22)
т. е. асимметричная составляющая тензора напряжений может выражаться
