Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ZkiiNij = a Bk + pGk. (8.27)
Если пренебречь членами р,;- и &,•/ по сравнению с М,-В/ и GiUi, то
получим замкнутую систему уравнений.
При безындукционном приближении полученная система уравнений МГД-
турбулентности для несжимаемой жидкости при стационарном магнитном поле
принимает вид
= 0- (8-28)
(dUi . dUiUj \ др . dRij
9\ dt + дХ/ dXi дХ,- "г
+ -f ьтВк (E, + -f 4imnUmBa) , (8.29)
P (lT + 'Жг) (8-30)
Е' = -ЖГ' (8.31)-(8.32)
В это случае воздействие магнитного поля на поток проводящей жидкости
происходит благодаря силе
рI - ~ eijkBk {Бj + - RjmnUmBnj ,
которая изменяет распределение поля скоростей и момента Ci = eijktnjBk,
стремящегося совместить ось вращения турбулентного вихря с направлением
магнитного поля. Поэтому между турбулентным потоком проводящей жидкости и
течением ферромагнитной жидкости во внешнем магнитном поле имеется
определенная аналогия, которая была отмечена в работе [97] для объяснения
эффекта перестройки трехмерной турбулентности в двумерную. Эта идея
соответствует отмеченному [99] варианту теории, где для магнитного
момента турбулентного вихря вводилась связь тг= {а/2с)г^кМфи-
Качественные расчеты затухания трехмерной турбулентности приведены в [50-
53] в рамках модели, которая аналогична (8.28) - (8.32).
Отметим, что в первых изданиях своего известного курса по электричеству
[76] И. Е. Тамм подчеркивал, что максвелловский тензор напряжений в
макромасштабе может быть несим-
щ
Пространственное осреднение и теория турбулентности 309
метричен, хотя тензор микронапряжений симметричен. В качестве примера он
приводил эффект поляризации упругих диэлектриков. Этот вопрос обсуждался
К. Трусделлом [149], С. Кадисским (см. [145]), Г. Моженом и А. К.
Эрингеном [133, 134] и другими в связи с развитием механики Коссера, а
также в ряде монографий по электродинамике (см. [23]).
Пространственное осреднение допускает простое обобщение на случай, когда
в жидкости взвешены инородные, например твердые, частицы, т. е. когда
элементарный макрообъем ДК содержит две фазы (<х=1, 2). Система в целом
оказывается гетерогенной [137], и феноменологически ее поведение
описывается моделью двух взаимопроникающих континуумов [65, 70, 148].
Адекватные динамические уравнения получаются путем осреднения по эйлерову
объему А1/. Они имеют вид
Здесь - поток массы в фазу а, - объемная сила воздействия на фазу а со
стороны сосуществующих фаз (Sa/?("> =>
= 0,) dP(a\ldt - работа над фазой а со стороны других фаз (HadPWjdt = 0),
Q(a) - внутренний источник тепла, #<"> - приток тепла из других фаз
(2a#<a) = 0).
Существенно, что здесь уже фигурируют интегралы по части Д1/(")
элементарного объема AK = 2aAV(">, занятой фазой а, и соответственно по
частям AS<") граней AS/, например
9. АСИММЕТРИЧНАЯ ДИНАМИКА СУСПЕНЗИЙ
д (Р)а
д (рщ)а
dt
dt
(9.1)
(9.2)
<р"<>"== J pUiG{a)dV= mupa(J\a\ (9.4)
и по внутренней межфазовой границе
s(ot)
s(a)
*
310 В. Н. Николаевский
Для простоты в выражении для межфазовой работы принято, что скорость
перемещения границы совпадает со скоростью частиц (нет фазовых переходов:
х<") = 0). Дискриминантная функция G<"> (xi, если в микроточке
находится
частица фазы а, и (л:,-, ?) = 0, если это частица другой фазы. В
макроточке Xi, t находятся одновременно все фазы, причем их наличие
характеризуется поверхностной и объемной та пористостью:
xsf
S amdSi'
AS, J -"I AS,
mn =
XV
AXj/2
G{a) dSj = -J- ^ tif dXj = . (9.6)
Достоверность равенства n(a) = п<"> = trio, обсуждается во
многих публикациях [64, 65, 101, 61], но это условие практически всегда
используется, хотя и существуют способы независимых измерений обоих
величин. В общем случае осреднения физической величины ф (которая либо
случайна, либо соответствует некоторому детерминированному распределению)
по объему и по поверхности из интеграла типа (9.6) следует
AXj/2
<Ф> = <Ф>/ Н Wc^~~KV~ S (x-X)dx-\-
dXi XV -АХ,,2
1 д2 (ф>/
дХ2, AV
ДХ//2
( {х- Xfdx+ .. ., (9.7)
-! -АХ,/2
если среднеповерхностное значение ф регулярно: д (ф)/ 1 'д2 (ф)/
<Ф>, = <Ф>, (X,) + -Щ- (х, - X,) + (*/ - */)* + • •
• •
(9.8)
Результат интегрирования (9.7)
I д2 (ш)/
<Ф> = <Ф>/ + + • • • (9-9)
показывает, что разница среднеобъемных и среднеповерхностных величин,
отнесенных к центру масс объема АР, имеет порядок квадрата масштаба
длины. Предельный переход АХ,-^~0 невозможен, поскольку при этом
стремится к нулю и площадь AS,, а потому (ф);->ф, т. е. нарушается
условие регулярности (9.8). Нижнюю допустимую границу для АХ/ определяет
условие AXj^>l, где I - масштаб взвешенной частицы (вихря). Тем
Пространственное осреднение и теория турбулентности 311
не менее во многих случаях континуальный подход вполне допустим,
поскольку одновременный предельный переход от конечных разностей А <ф>,
... к дифференциалам d <ф>, ... оправдан за счет увеличения L - внешнего
масштаба задачи.
Если роль величины ф играют микронапряжения ац, то из условия (9.9)
следует, что среднеобъемные <0,/) напряжения и макронапряжения (Oij)j,
