Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
величина, то @ было следующим свойством: названная величина имеет
значение 1 (т. е. не 0). Из приведенного там F. (т. е. из I. в IV. 2)
следовало, что соответствующие операторы Е как раз и являются операторами
проектирования. Вероятность того, что @ имеет место, равнялась
математическому ожиданию определенной выше величины. В III. 5 эта
вероятность вычислялась лишь для состояний ср (т. е. для (У = Р[?], || <р
||=1), но ее можно вычислить и в общем случае по формуле Sp. : она равна
Spur (УД (относительная!, абсолютная, только если (У правильно
нормирован, т. е. когда Spur (У = 1).
Установив справедливость положений I.-4., мы тем самым доказали
вытекающие из них утверждения а) - ?) из III. 5. Следует отметить,
правда, что там а) давало информацию лишь относительно состояний, а здесь
мы распространили его на люоые смеси:
а') В смеси со статистическим оператором (У вероятности того, что
свойство @ имеет место или же не имеет места, равны
250
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
соответственно
Spur (?/?) или Spur(?/(1-Е))
(вероятности относительные!, абсолютными они будут лишь в том случае,
когда U правильно нормирован, т. е. когда Spur U = 1).
Если рассматривается несколько величин 9i,, причем ве-
личинам соответствуют операторы R1 /?г с разложениями единицы El(X) (X),
и если, далее, задано I интервалов /i:X1<X^X1............. /;: X; < ,
и положено Е\(1{) =
- Ei (>4) - ?1 ?) (/;) = ?) (X;)-?)(>.;), то свойствам
"9ii лежит в /1", "9i; лежит в /г" соответствуют проекционные
операторы Ех (/[)....?((/() (СР- S) )• Характеристичным условием одно-
временной рассудимости этих свойств является перестановочность
проекционных операторов Е1(11), Дг(/г) (ср. у)). Их одновре-
менному осуществлению будет соответствовать проекционный оператор Е =
Е1(11)- • -E^Ifi (ср. г)), а соответствующая вероятность будет равна
Spur(?/?) (ср. "'))•
Пойдем теперь по обратному пути: предположим, что мы не знаем состояния
системы S, но зато проделали в S некоторые измерения, результаты которых
нам известны. Ведь в действительности дело обстоит всегда именно таким
образом, так как узнать что-нибудь о состоянии S можно лишь из
результатов измерений. Строго говоря, состояния - это лишь теоретические
конструкции, в действительности в нашем распоряжении оказываются лишь
результаты измерений, и задача физики состоит в том, чтобы установить
связь между прошлыми и будущими измерениями. Конечно, для достижения этой
цели всегда вводится вспомогательное понятие "состояния", но физическая
теория должна тогда научить нас, как, с одной стороны, заключить из
прошлых измерений о настоящем состоянии и как, с другой стороны, перейти
от настоящего состояния к будущим результатам измерений. До сих пор мы
занимались только вторым вопросом, теперь же нам надо обратиться к
первому.
Если предшествующие измерения недостаточны, чтобы однозначно установить
настоящее состояние, то при известных обстоятельствах из них можно узнать
вероятности, с которыми входят Отдельные состояния (это справедливо как в
причинных теориях, например в классической механике, так и в квантовой
механике). Итак, задача состоит, собственно, в том, чтобы по данным
результатам измерений найти смесь, которая обладала бы той же
статистикой, что и ожидаемая для системы S, относительно которой нам
известно только, что в ней проделаны указанные измерения и что они дали
указанные результаты. Конечно, мы должны уточнить смысл выражения:
относи-
8]
ВЫВОДЫ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
251
тельно системы S "известно только то" и ничего больше, а также указать,
как отсюда может быть получена некоторая статистика.
Связь со статистикой должна, во всяком случае, быть следующей: если для
многих систем Si, .... Sm (многих экземпляров системы S) эти измерения
дают упомянутые результаты, то тогда ансамбль [Si, .... Sm] в0 всех своих
статистических свойствах совпадает со смесью, которая дает те же
результаты измерений. То, что измерения на всех системах Si Sm дают одни
и те же результаты,
можно приписать в духе М. тому обстоятельству, что первоначально
имелся большой ансамбль [^i..........^лг1* в котором были проделаны
измерения, а затем из тех элементов, для которых получался требуемый
результат, был образован новый ансамбль, который и является ансамблем [Si
Sm]- Конечно, все зависит от того, как был выбран ансамбль [Sj S^]. Этот
исходный ансамбль, так сказать,
задает априорные вероятности индивидуальных состояний системы S. В целом
положение вещей хорошо известно из общей теории вероятностей: для того
чтобы можно было из результатов измерений делать выводы о состояниях, то
есть из следствий - о причинах, т. е. для вычисления апостериорных
вероятностей, необходимо знать априорные вероятности. Вообще говоря,
последние можно выбирать многими способами, вследствие чего наша задача
не решается единственным образом, тем не менее мы увидим, что при наличии
специальных квантовомеханических соотношений имеется некоторый особенно
