Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
", Л
о _ . 1-c°s 2тс I Рл ---- I t
...АГя+1... I =Т?{Мп + 1)|(r)'*а|2 / W-- W \2 151)'
I*-ч-ч
/ W - W- \
1 - cos 2тс ( Рл -- J
I h I*-- м I Wn I2 -_________________-________________-_
1511
1... | Л2 л| ftftl / Wk - W%Y >
Р я-
ЬиМ м I2 = 0 для kM,M2 .. . ФkM\M2 . . kM\M2 . . . Мп± 1 .,
"Л1|Л12 • • • I i л
16°) H. Бор, как известно, установил в 1913 г. фундаментальный принцип
(см. ссылку в прим. 5) на стр. 12), согласно которому при переходах из
стационарного состояния с энергией в стационарное состояние с
энер-
дег(1) _ ург (2)
гией атом испускает свет частоты ------------------------ (конечно, >
U^).
W- - w k
В нашем случае этому Соответствует -----------------^----------------,
161) Имеет место
. 1 Р = (в1* - 1) (eix - 1) = (eix - 1) (в-ix - 1) =
= 2 - elx - е~~1Х = 2 - 2 cos л: = 2 (1 - cos x).
6] ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Отсюда получаем для 0ft, кфк, выражение
215
1 - cos 2тс
(р п
W--W
k k
П= I
.Ря-
W- - W \2
k k
+
У % М \wn\2 ^ л2 п\ кк\
и=1
1 - cos 2г. I pn -
Pn ¦
W - W-
k к
Первая сумма 2 соответствует испусканию, а вторая сумма 2
П- I
П- 1
поглощению.у Чтобы можно было придать этим 0ft замкнутый вид,
надо сделать упрощающие предположения. Именно, будем считать, что, с
одной стороны, полость Н очень велика (т. е. ее объем у-"оо), а с другой
стороны, будем подсчитывать собственные колебания %п в Н статистически.
Для этой цели объединим в каждой из приведенных сумм члены, принадлежащие
частотам р", заключенным в интервале между р и p + rfp (вместо мы
подставим его значение и предположим, что rfp<<c^p):
1
4тс2с2Лр
I 2 Ql 0?)+...)" 2 (M"+i)
р?р"<р+<*р v=I
X
W-
w
X
1 - COS 2те I р
W--W \2
к к
а затем повторим эту процедуру, но с Мп вместо Мп-\- 1 и
W - W-
к к
W--W
вместо ---. После этого остается еще вычислить квадратные скобки [...].
Заметим теперь, что при обычном способе описания не задают
значений Mv М2 но ограничиваются гораздо меньшим, а именно
заданием интенсивностей, т. е. заданием энергии излучения /(p)dp,
приходящейся на спектральный интервал от р до p-j-tfp и единиц}-
216 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
объема. Это означает, что
2 hpaMn~hp 2 Aj" = F/(p)rfp,
? я.=*24
п
РЙРЛ <p+dp
Число частот рл, лежащих в интервале р р0 < рdp, равно 8т.Г р2 ,
-ар, согласно всегда справедливой асимптотической формуле
Вейля (ср. ссылку в прим.140) на стр. 192) -"^р ¦ dp, и, следовательно,
8яЛрэ
V
(/(р)+
S (М1.+ 1)(r)--Лр ¦ С 1 dP-
п
p^p"<p+dp
Итак, для квадратных скобок [...] мы получим в указанных выше двух
случаях следующие выражения:
W'<rt+-^)
w,-,. <i'>-----JJ------'-dp И ",г(р) -jSL if.
если только величина
i
Ql #)+•••)**
v= 1
флуктуирует (достаточно быстро) в интервале р рл < р -j- dp вокруг
некоторого среднего значения, которое мы обозначили через wk^(p).
W- -W W - W-r
Напишем еще вместо ^------------ и вместо д----, тогда наши
суммы примут вид
.,-4,/{(,"+".А
1 - COS 2я(р - V -) t \ W - (в)
_1_/(р)---------------L -W
(р-vaa) 1 р
При малых ^ зтот интеграл будет, очевидно, порядка t2 (потому что уаков
порядок веллчины i-cos2nct), за исключением лишь того
6] ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 217
участка области интегрирования, в котором знаменатель (р- или (р - мал.
Здесь могут возникнуть вклады, большие по сравнению с t2, и если это так,
то эти вклады и будут представлять собой асимптотические выражения для
0ft. Действительно, окажется, что это так, ибо мы получим вклады порядка
t, -их-то и надо нам теперь вычислить.
W- W
Так как \k - - = л • т0 ПРИ W^'>Wk малым будет
только знаменатель первого члена, а при W-^ < Wk-только знаменатель
второго, поэтому при W-? > Wk мы оставим лишь первый член, а при Wj < Wk
- лишь второй. Кроме того, так как для р, лежа-( - IW- - W I \
щего вдали от и I обозначим для краткости ^----------),
получаются вклады в интеграл лишь порядка t2, то можно заменить
подынтегральное выражение его значением при р = т. е. через
Iw - (v _ 'l kk \ kk)
v2_
kk
где / = / или / соответственно. Следовательно,
vlw^(\k) F ! -c°s 2"(P-
kk
kk) Г____________Л d
- J (o-V -\2 P'
4rc2c2A2v?- *]
kk 0
Далее, J можно заменить на J , так как это ведет лишь к до-
О - оо
полнительным вкладам порядка t2, и ввести еще новую переменную
интегрирования х - 2тс (р - ikj) t. Поскольку
Г 1-C°S2 -**11 dp = 2nt f 1 ~ c°s * dx = 152) == 2тхЧ,
J-------------(о------------ V -У J х
¦ -00 У kk) -со
152) Имеем (ср. Courant - Hilbert, стр. 49),
218 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
то окончательно находим
Tlw =¦ [V
[ГЛ. III
гем доказывается также и то, что 0А порядка t.
Для вычисления wkj(?kk) нужно получить для величины
AqI Ql Qf) + •••)"
выражение, свободное от %п. К такому выражению можно прийти, если
заменить вектор имея в виду его быстро осциллирующий характер,
иррегулярно ориентированным вектором постоянной длины (ввиду его
постоянства в пространстве, т. е. независимости от Qf, Qv. Ql он является
численным вектором, умноженным на матрицу 1). Постоянную длину уп можно
