Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Н<р* (5) +"t ("О ... Фns(us) =
= ("V+ ЕП, + • • • +\) % (c) фв1 (,,) ... фЯя ("д +
оо оо 5
+ 2 2 2 s(rti-/"i)... 8("s--ps)x
у = 1 р ... р =0 т = 1
Х'ру^Фр.К) ••• Фр5Ы-
В результате легкого вычисления это выражение принимает вид НсрА (c)
Фл,оЛ,1... (Mi ... us) -
= ("',+ 2Л1а)ч,<Е>"W..("1 ••• "s) +
ОО СО
^ Я||о (r) ... л,-1... "J+1••• us)
6] ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 209
(для я = р надо заменить ... Мп - 1 ... Мр +1 ... на ... Мп ...) и,
значит, для ортонормированных функций
н(9...("! ••• "5) =
= к + Д, MnE^j fk (c) Фж"ж,... (Ki • • • us) +
оо оо
+ 2 2 V^"(M"+i-8(--rt) V,n!lrb(О X
J - 1 п, р = О
X ^ж0ж, ... Мп- 1 ... Ж^ + 1... (и1 • • • ws)-
Общую волновую функцию /(?, Яр ..., us) из мюжно разложить по этим
ортонормированным функциям:
ОО
/(?"! . . . US)= 2 ^J? "ВД... <Р* ... ("!••• И5)'
(АГ0+ATi + ... = S)
Следовательно, 9^ можно представлять себе и как гильбертово пространство
последовательностей akMMi . k=\, 2.........................М0, Mv ...-
= 0, 1, 2........... Af0-j-Afj =S, с конечной суммой
2 | акм,м1 |2, (r) этом случае оператор
Н^АЖоЖ, ... ~ йШаМ1 ... определяется из уравнения
ОО оо
Н Ж ж"ж?.. =0 ••• (е) ••• ^ ^=
(Af()+Afi+ ... -S)
оо оо
= *?1 ж.ж'?. =0 й'Ш°М> - (Е) ^ ...("!••• Us)>
(Л1о+Л1^+ e"S)
так что
H<w,... = <ж^,... = + 2 MnE)j akM*Ml • • • +
оо оо
"*")?! т>%0^ЖЛМр+ 1-0(Я_-Р)) VknljpajM0Mr..Mn-l...Mp + l...
(k, j и п, р обменялись ролями по сравнению с формулой для Т* С5)Фж0ж,
... ("1 ••• tts): вместо VJp(ka мы написали V MJp. учитывая эрмитовость
V.)
Перейдем к подготовке перехода к пределу 5->-(-со. Так как М0
определяется числами Mv М2, .... согласно соотношению
14 И, Неймац
210 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
MQ = S~Mi-M2- .... то можно вместо писать akM^^.
При такой записи индексы оказываются ограниченными условиями k=
= 1, 2 Mlt М2, . .. = 0, 1, 2 Mj М2 ... 2== 5. Если
заметить, что ?0 = О и ввести обозначения SVk0/j0 = Vk!j, 1^5 V к0^п = -
Vk,jn, /5 Vkn,j0 = V"кп (Vnnijp - эрмитова матрица!), то найдем
... = акМ,М2 ... = 2 ^n^nj akMiM2 ... "^
СО
+ 2 VkljajM1M2...+
j=1
СО СО __________________________________________
I У У УЖ]/ ¦¦¦- +1 у а ,
^ Zj. Lk V п V S vj/knajM1M2... Mn-\... П-
j- 1 п = 1
со
со______________________________________________________________________
+2 2^+! s^2 ¦~^w".v1"2.-.AfII+i... +
j = 1 л = 1
со со
2 2 ^^л {^Р 4" *) ^knljp ajMlM2 ... М -1 ... М +1 ...•
j= 1 Л, Р=1
Теперь можно устремить 5-> + оо. Коэффициенты akMlM,... будут тогда снова
определены для всех последовательностей кМхМ2...,
в которых k= l, 2.......... Mlt М2, ... = 0, 1, 2 причем только
лишь конечное (но произвольное) число Мп ф 0 (ср. прим. ж) на
стр. 201), а из Н получится
^akMtM2... = акМ1М2... ~ к 4" ^2 акм2М2... 4"
со со со
4- 2 Vklja/MtM2... 4" 2 20^ Цкп V №п 4- 1 ... М+1 ... 4"
j=1 j=l л=1 1 2 п
4" Vkijn VМ" ajMlMt...Mn-1...)4~
СО со
4-2 2 VmipY Мп(Мр+\)ат
i= 1 л, p=i
м2...мл-1,..мр+1....
Сходство с уравнением, полученным на основе электромагнитной теории
излучения, 'теперь очевидно; чтобы сделать оба выражения тождественными,
следует лишь положить
61
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
211
Итак, мы видим, что концепция световых квантов оказывается тождественной
классической электромагнитной концепции, если:
1. Последняя переписывается в соответствии с общей квантовомеханической
схемой.
2. Энергия каждого светового кванта, в соответствии с правилом Эйнштейна,
приравнивается й-кратной частоте.
3. Энергия взаимодействия светового кванта с материей определяется
правильным образом (ср. приведенное выше выражение для V).
На этом пути блестяще разрешается один из труднейших парадоксов квантовой
теории в ее ранней форме - двойственная природа света (электромагнитные
волны и дискретные корпускулы световых квантов) 148). Конечно, трудно
найти прямую, наглядную интерпретацию только что вычисленной энергии
взаимодействия V света и материи. Это тем более трудно, что ее
единственно отличные от нуля матричные элементы Vkn/jp (т. е. для которых
п - 0, рфО или пф 0, р = 0) зависят от числа всех возможных световых
квантов S [они пропорциональны -4=^). а ведь окончательно нужно
V S
положить S-> + oo. Тем не менее можно примириться с этим, если учесть,
что любое модельное описание является лишь приближением, тогда как точное
содержание теории и как раз дается выражением для оператора И.
Возвратимся теперь к нашей первоначальной задаче: определению
вероятностей перехода. Согласно временному уравнению Шредин-гера,
изменения в коэффициентах akMM ==akMM W определяются из
2ViWt UbMlM2 ... ==~^akMlM2 - ~ + ^ ЙРn^nj акм1м2 ~
СО оо
2 Wh 1 ajMIM2 ... Мп +1 ... ~\~V ajMlM2 ... мп-1 ...)•
]-IП-I
Так как главное изменение в вызывается первым членом
этого выражения, то целесообразно выделить его с помощью подстановки
21 г
148) Дальнейшие подробности относительно того, как понималась эта
"двойственная природа" и как парадоксально она воспринималась, читатель
найдет в литературе того времени. См., например, работы, указанные в
