Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Х'<Х"<;Х"1 и, следовательно, равна
2 | / - / Т (<7i.......Чк)9п(.Ч1......Чк)аЧ 1 ••• d4k |2 =
v
= 2 i(tp' 2 tp)==
М<Хя^Х" Х'<хя^х*
=({ 2 'р)=(Е(/)'р> 'p)=ii?(/)?ii2-
Х'<ХЯ<Х'
Итак, в обоих случаях достигается результат, который можно сформулировать
следующим образом:
(W.) Вероятность того, что в состоянии ср величины с операторами Rv ....
/?, 11Э) принимают значения из соответствующих интервалов Iv ..., /,,
равна
||ВД) ... ?,(/,)<рИ*.
где Е1(К), ..., Et (X) - разложения единицы, принадлежащие операторам Rx
Rt соответственно.
Первый случай соответствовал 1 = k, R1 = q^ , ..., Rk = qk второй - 1=1,
/?j = H. Мы хотим теперь принять, что утверждение W. справедливо и в
общем случае; в самом деле, оно включает в себя все статистические
утверждения квантовой механики, сделанные до сих пор.
Одно ограничение его применимости все же необходимо. Поскольку при
постановке задачи порядок операторов Rx, ..., /?, совершенно произволен,
то он не должен сказываться и на результате, т. е. операторы ..., ?г
(/,) или, что то же самое, все опера-
торы f^Xj), ..., (Хг) должны коммутировать между собой. Согласно II. 10,
это означает, что Rv ..., /?, коммутативны. Это условие выполняется в
случае qx- -- qk-- •, а при 1=1, /?j = H
оно даже беспредметно.
Итак, постулируем W. для любых коммутирующих операторов Rv .... /?г.
Тогда j^i (/ j), ..., Ех (/,) взаимно коммутируют и, следо-
116) в IV. 1 мы обсудим более обстоятельно вопрос относительно этого
соответствия, сопоставляющего каждой физической величине эрмитов
оператор. Пока же мы знаем лишь на основании 1.2, что операторы у.,....
q.
h д h д
соответствуют координатам, операторы .....2кf'dq соответствУют
импульсам, а "оператор энергии" Н - энергии.1
152
' КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
вательно, Ех (1Х) . . . Et (/,) будет проекционным оператором (теорема
14. в II. 4), а рассматриваемая вероятность принимает вид
Ш = \\Е,{1Х) ... ?г(/г)ср||2 = (?,(/,) ... Ег(/г)ср, ср)
(теорема 12. в II. 4.).
Прежде чем идти дальше, надо установить некоторые свойства , которые
должны иметь место в любой разумной статистической теории.
1. Порядок утверждений безразличен.
2. Пустые утверждения, т. е. такие, для которых I j есть интервал {-оо, -
|-оо}, можно вставлять по желанию, не изменяя U^, ибо их вклад сводится
лишь к множителю
?;.(/) = ?(+ оо ) - Е(- оо) = 1 - 0=1.
3. Выполняется теорема сложения вероятностей, т. е. если мы разобьем
интервал /, на два интервала //, /,-, то старая вероятность
^ t It
будет суммой двух новых. Действительно, пусть I j, I j, I j обозначают
соответственно интервалы {X', X"}, {X', X}, {X, X }, тогда
Е (У) - Е (У) = (Е (X) - Е (У)) + (Е (У) - Е (X)),
т. е. E(Ij) = E{l'j)-\-E{l"j), что в силу второй из приведенных выше форм
W (линейной по Е1(11) ... Ej(Ij) ... ?г(/г)) и дает аддитивность
вероятностей.
4. Для абсурдных утверждений (один из /у пуст) 1^ = 0, поскольку в этом
случае соответствующее Ej(Ij)= 0. Для тривиально справедливых предложений
(Все Ij равны {-оо, ОО )) ИГ =1. поскольку тогда все Ej(Ij)= 1, U^ =
||cp[|2= 1. Всегда имеет место неравенство в силу теоремы 13.
из II. 4.
Наконец, заметим, что содержит утверждение: величина Rj может принимать
лишь свои собственные значения, т. е. числа из ее спектра. Действительно,
если интервал /у, равный {X', X"}, лежит вне спектра, то ?;(Х) постоянно
в нем и, значит,
?,(/,.) = ?,(Х")-?,(Х') = 0,
откуда следует, что = 0.
Положим теперь / = 1 и обозначим Rx просто через R. Пусть 91- та
физическая величина, которой сопоставляется оператор R (см. прим.119)).
Пусть Д(Х) - произвольная функция. Требуется вычислить математическое
ожидание F (91).
Для этой цели разделим интервал {-оо, -f-оо} на последовательность
подинтервалов {Хл, Хл+1}, п = 0, ±1, ±2, ... Вероятность того, что 91
лежит в подинтервале {Х", Хл+1}, будет
({?(W - ?W)?' ср)=3(?(Хл+1)(Р> <р) - (?(хл)<р. <р).
I] СТАТИСТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 153
и математическое ожидание F (Щ оказывается, следовательно, равным сумме
4-00
"S/W){(E(X",)T. ?)]•
если \'п является надлежащим промежуточным значением из подинтер-вала
{Хл, Хл+1}. Начнем теперь выбирать точки подразделения ..., Х_2, X_j Х0,
Xj, Х2, ... все более и более близкими, тогда эта сумма будет сходиться к
интегралу Стильтьеса
00
J F(\)d(E(\)iр, ср).
- 00
Поэтому рассматриваемое математическое ожидание также равно этому
интегралу. Но в силу общего определения операторной функции в II. 8 этот
интеграл равен (F(R) ср, ср). Следовательно, мы пс-лучаем:
{Е\.) Пусть 91 - произвольная физическая величина, R - ее оператор (см.
прим. II9)), a Z-'(X) - произвольная функция. Тогда для математического
ожидания F(9l) в состоянии ср выполняется
Erw {F (91); ср) - (/=¦ (/?) ср, ср).
В частности, если мы положим Z'(X) = X, то будет:
(Ей.) Пусть 91, R будут как и раньше. Тогда для математического ожидания
91 в состоянии ср имеем
Erw (91; ср) = (/?ср, ср).
Перейдем теперь к исследованию связей между \У., Е\" Е2.. Мы вывели Е\.
