Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 56

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 145 >> Следующая

эквивалентность обеих теорий уже установлена.
При таком методе описания ясно, что все, что мы хотим сказать о состоянии
системы, надо извлекать из ее волновой функции ер(qv ..., qk). (Пусть у
системы k степеней свободы и qv ..., qk - координаты ее конфигурационного
пространства.) При этом мы не будем ограничиваться только стационарными
состояниями системы (квантовыми орбитами, волновые функции ср которых
являются собственными функциями оператора Н: Нср = Хер, ср. 1.3), но
допускать все состояния системы, т. е. любые волновые функции ер
(изменение которых определяется временным дифференциальным уравнением
Шредингера: Hep = - -g^-ep, ср. 1.2^. Какие же высказывания можно
сделать относительно системы, находящейся в состоянии ер?
Прежде всего заметим, что волновая функция ср была нормирована (I. 3)
соотношением
оо оо
/'../ |?(?1..........................<7*)|2rf<7i •••
- СО -оо
1]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 149
т. е. в нашей новой терминологии - как точка гильбертова пространства
91^, всех /(qx, .... qk) с конечным
ОО ОО
/ f 1/(?1 Як)?аЯ1 ••• (*Як
- ОО -00
(некоторого Fs!) - соотношением ||ср||=1. Иными словами, точка должна
лежать на поверхности единичного шара в гильбертовом пространстве 117).
Мы уже знаем, что постоянный (т. е. не зависящий
от qx qk) множитель в ср лишен физического смысла. (Т. е. можно
заменить ср на аср, а - комплексное число. В силу нормировки ||ср||=1,
должно быть |а| = 1). Далее, надо указать еще на то, что ср, помимо
координат qx qk конфигурационного пространства нашей системы, зависит еще
и от времени t; однако гильбертово пространство строится лишь
относительно qx qk (ведь и
нормировка относилась только к ним), не учитывая зависимости от t,
которое следует скорее рассматривать как параметр. Вследствие этого ср,
как точка 9?^, зависит от t, но, напротив, не зависит от
qx Як- и^о как точка ср представляет всю функциональную
зависимость от qv .... qk в целом. Поэтому мы будем иногда указывать
параметр t в ср (когда ср рассматривается как точка 9i ), записывая срг
Итак, рассмотрим состояние ср = ср(^[, .... qk). Статистическое
утверждение, которое можно тогда сделать, гласит: система находится в
точке qx, .... qk конфигурационного пространства с плотностью
вероятности |ср(^[.....^А)|2, т. е. вероятность того, что система
окажется в объеме V конфигурационного пространства, будет равна
f • •• f .............Як)\2^-
v
(Это один из первых и самых простых примеров, на которых был осознан
статистический характер квантовой механикиш); впрочем, связь между этим
утверждением и предположением Шредингера о распределении заряда [ср. 1.2]
является очевидной.) Далее, пусть энергии системы соответствует оператор
Н, его собственными значениями
И7) Согласно геометрической аналогии, шаром в 9?^, с центром <fQ и
радиусом г должно быть множество точек, для которых ||/-foliar, его
внутренностью - множество ||/ - foil < г, а поверхностью - множество II/-
?о11 = г. Для единичного шара <ро = 0, г=\.
118) Первые статистические утверждения о поведении системы, находящейся в
состоянии <р, восходят к М. Борну; более детально вопрос рассматривался
Дираком и Иорданом, ср. ссылки в примечаниях8) и2) на стр. 13 и 10.
150 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
будут Х2 а собственными функциями- cpj, ср2 тогда
вероятностью значения энергии Х" в состоянии ср будет
J ... Jcp( qv qk)<?n(qx qn) dqx ...dqk
(Ср. работы, упомянутые в прим.118).) Желательно теперь объединить эти
два утверждения и придать им единую форму.
Пусть V - ^-мерный параллелепипед
q[ <4^4
Обозначим интервалы \q'v q I j, ..., Ik. Координатам
ч'к<чкШ'к.
//
j \q'k, q"j соответственно через
. ., qk сопоставляются операторы
?Г ' ' ' •••>?*•¦• соответственно. Разложения единицы, принадлежащие этим
операторам, определим следующим образом (ср. II. 8): разложение,
принадлежащее qj(j- 1............k), обозначается ЁДХ) и
Brtw, q") для qi = 1'
Чк) ( 0 для ?,->Х.
Введем следующее общее обозначение: если F (X) - некоторое раз ложение
единицы, а / - интервал {X', X"), то положим F(I) = =?= F (к") - F (X')
(это - проекционный оператор, так как при X'sgX' F (X') F (X")). Тогда
вероятность того, что система находится в указанном выше объеме V, т. е.
что qx лежит^-в Ix qk в Iк, составит
Ч Ч
J ••• / |<p(?i........4k)?d4i ...dqk=*
ч 1 Ч
= I ••• /!?l(/l) ••• E"(/k)(?(qi.........4k)\2d4\ ••• dqk
(поскольку EX{IX) ...Ek{Ik) <?{qx..........?*)="P(?1 ?*). если
принадлежит /j qk принадлежит Ik, а в остальных случаях = 0),
= ИВД) ... ?*(/*)? И2.
В качестве второго примера рассмотрим вероятность того, что энергия лежит
в интервале /, равном {X', X"}. Разложение единицы ?(Х) оператора Н
определено (ср. II. 8) как Е(к)= У 1.
поэтому
E{I) - E (X") - Е (к') = 2 Р\,л.
1] СТАТИСТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 151
Но рассматриваемая вероятность, - поскольку лишь значения энергии Хр Xj,
... относятся к делу, - является суммой вероятностей всех Х", для которых
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed