Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
ОО СО
ций, для которых конечны J \f(q)\2dqn j f'(q) 2 dq. Как мы
- ОО -ОО
знаем, оба эти оператора эрмитовы. Оператор А замкнут. В самом
ОО
деле, положим /"-"/. Af"->/*, т. е. / 1/л (?)-/(?) \2dq->0;
- СО
оо
Jl Я/(я) - f* (я)\2 dq^-Q- На основе сказанного в II. 3 при дока-
- СО
зательстве D. существует подпоследовательность / , / , ...
последовательности /р /2 сходящаяся к пределу повсюду, за исключением ^-
множества меры нуль fn (q)->g(q)¦ Следовательно,
ОО ОО
f \g^) - fti)\2dq = 0, J \qg(q) - f* (q)\2 dq = О, т. e. всюду,
- OO -OO
кроме множества меры нуль g{q) = f (q) и точно так же qg{q) = f*(q),
следовательно, qf(q) = f*(q), т. е. f*(q) и qf(q) не различны
существенно. Но поскольку f* (q) принадлежит, по предположению, к 91^, то
qf (q) принадлежит к 9^ также. Соответственно Af (q) имеет смысл и равно
qf (q) - f* (q). Напротив, оператор А' не замкнут.
Действительно, положим fn{q) - e ' п, f(q) = e-l?i. Очевидно, все Afn
имеют смысл, но Af не определено (/ не имеет производной в точке q - 0).
Тем не менее, в чем легко непосредственно убедиться, /"-"/, Afn~>f*, если
положить f*(q) = - sgn(q) е'Ач\ (sgn(^) = -1, 0, -(-1 соответственно для
q <, =, >0).
Покажем теперь, что в отличие от непрерывности замкнутость - это
свойство, которое без особого труда может быть достигнуто для всех
эрмитовых операторов. Это достигается при помощи процесса продолжения, т.
е. путем того, что мы оставляем оператор неизменным во всех точках 91^,
где он был определен, но дополни-
9] О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 113
тельно определяем его в некоторых точках, где он до того определен не
был.
В самом деле, пусть А - некоторый произвольный эрмитов оператор. Мы
определим оператор А таким образом: Л/ имеет смысл, если существует
последовательность /,, /2, ... со всеми имеющими смысл А/п и при том
такая, что / есть предел /" и Л/" также обладает пределом /*. Тогда Л/ =
/*. Такое определение приемлемо, однако, только в том случае, если оно
однозначно, т. е. если из /"->/. ?"->/. Agn->g* следует, что f* = g*.
Действи-
тельно, если Ag имеет смысл, то
(/*. Д) = Нш(Л/", g) = lim (/", Ag) = (f, Ag),
(g*> g) - I'm (Agn, g) =ь lim (gn, Ag) = (/, Ag),
и, следовательно, (/*, g) = (g*, g). Но эти g всюду плотны и, значит, f*
= g*, т. е. мы определили А корректно. Это А есть продолжение А, т. е.
повсюду, где Л/ определено, определено и Л/, равное Л/: достаточно
положить все fn = f и /*=Л/. Из линейности и эрмитовости оператора Л те
же свойства следуют для Л (по непрерывности). Наконец, Л также и замкнут.
Действительно, пусть все Л/" имеют смысл, /"->/, Л/"->/*. Тогда
существуют последовательности /л>1, fn<2, ... с определенными Afnm, fnm -
"/",
Afnm~*f*n и - f*n- Для каждого п существует Nп такое, что при m^Nn.
||Л/П1т -/;|^-. Следовательно,
fn,Nn - fn-*0' Afn,Nn - и- ЗНаЧИТ- fn,Nn-f-*0,
Af N -/*->¦ 0. Отсюда следует, по определению, что Af - f*.
' П
(Следует обратить внимание на то, что не непрерывный оператор никогда не
может быть сделан непрерывным с помощью продолжения.)
Если оператор В является продолжением оператора Л, т. е. если, коль скоро
Л/ имеет смысл, Bf также имеет смысл и равно Af, то мы будем записывать
это как В**- А или А^В. Мы доказали уже, что Л -§ Л и что Л эрмитов и
замкнут. Очевидно без дальнейшего обсуждения, что для каждого замкнутого
В такого, что Л^й, должно выполняться также ЛН В. Соответственно Л есть
наименьшее замкнутое продолжение Л. (Значит, Л = Л.)
Тесная связь между Л и Л подсказывает нам, что Л может быть во всех
рассуждениях заменено на Л, поскольку Л естественным образом расширяет
область определения Л или, если посмотреть с другой стороны, Л без всякой
необходимости ограничивает
§ И. Неймач
114 ОБЩИЕ свойства ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. и
область А. Сделаем так, т. е. заменим везде А на А, тогда мы сможем
считать, что все эрмитовы операторы замкнуты.
Рассмотрим опять непрерывный эрмитов оператор А. В этом случае
замкнутость эквивалентна замкнутости его области определения. Далее
условие ||Л/||<С -Ц/Ц, характеризующее непрерывность, очевидным образом
выполняется также и для А. Следовательно, А также непрерывен и, поскольку
область определения А таким образом замкнута, и, вместе с тем, всюду
плотна, она должна совпадать с 9^. Значит, А имеет смысл повсюду и тем
самым каждый замкнутый и непрерывный оператор также повсюду определен.
Обратное утверждение тоже верно: Если замкнутый оператор всюду имеет
смысл, то он непрерывен (это теорема Т б р 1 i t z'a 9б), в
доказательство которой мы не можем здесь углубляться).
Результат, полученный Гильбертом, состоит в следующем: Каждому
непрерывному оператору соответствует одно и только одно разложение
единицы. (См. прим.64), стр. 78.) Поскольку непрерывный
СО
оператор всегда имеет смысл, то интеграл J Х2й?||?: (Х)[|2 всегда
- СО
должен быть конечен; поскольку, к тому же, он равен ||Д/||2 и,
следовательно, по St.^=C2 • ||/||2, мы имеем
