Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
доказательство было дано автором: Annals of Mathematics 32 (1931).
g] РАССМОТРЕНИЕ проблемы СОЁСТВЕННЫХ значений 109
Вообще, мы имеем
ОО
Л" = J* X" dE (X),
- ОО
поскольку мы можем по индукции переходить от п - 1 к п:
ОО ОО / л. X
Ап = Ап~1А= f Xn_Irf(?(X) Л)= f Xn_Irf I f Х'ЛЕ(Х')) =
- со -оо \ - со /
оо со
= прим. 92) = f X"-1 • X dE (к) = f Xя dE (X).
- со -со
Тогда, если р(х) - а0-\- ахх ... -f- апхп есть некоторый полином, то
ОО
р{А)=* f р (к) dE(X)
' -ОО
(под р (Л) мы понимаем, конечно,
Р (А) - я01 -}- a^A-\- ... -\-апАп,
ОО
J'dE(k)= 1 следует из Si.)-
- СО
Далее установим следующее: если г (к), s(k) - две любые функции, и если
мы определяем два оператора В, С (символически) формулами
ОО ОО
В= f r(k)dE (к). С =r J S (к) dE (X)93),
- ОО -ОО
то следует, что
оо
ВС = J г (X) s (X) dE (X).
S3) Это значит
ОО ОО
{Bf, g)= f г (X) d(E (к) /, g), (Cf, g) = f s (X) d(E (X) /, g).
1 10 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Доказательство мы проведем в точности так же, как в специальном случае Д
= С = А:
СО СО
ДД(Х) = / r(X')d(E(X')E (Х)) = J г (X') d(Е(Min (X, Х'))) =
- со -со
А со А со А
= / + /= J*r(X')d?(X')+J r(X')dE(X)= f r(X')dE(X 0,
- со А -со А со
со со /А \
СД = J s (X) (ДД (X)) = J s (X) d j f г (Х0 (X') =
- со -со \ -со /
оо оо
= J s (X) /• (X) dE (X) = J s (X) г (X) dE (X).
- со -со
Могут быть легко установлены также следующие соотношения:
СО со
В* = J г (X) (Я: (X), аВ<= J ar (X) </Д (X),
- со -со
со
В ± С = j (г (X) ± s (X)) dE (X).
- со
Значит, не существует никаких формальных возражений против того, чтобы
писать Д = г (Д) для таких функций г (X)94). В частности, замечательны
следующие (разрывные!) функции:
1 для X'^§Х, __
Имеем для них, согласно Sj.,
^ (0 для X' > X.
со А
"х(Л)= / ex(XVE(X)= / d?(X') = E(X).
- со -со
(В начале этого раздела мы обсуждали оператор A = q} . .. . Его Е(Х) было
умножением на 1 или на 0 соответственно для q-^Х или q > X, т. е.
умножением на ex(q). Поэтому ex(qj .. .) = ek(qj) ... Этот пример очень
хорош для того, чтобы дать интуитивное представление о введенной выше
концепции.)
94) Точное обоснование этого понятия функции дано автором в Annals of
Math. 32 (1931). F. Rlesz первый определял общие операторные функции с
помощью предельного процесса, примененного к полиномам.
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 1 1 1
9. Отступление: О существовании и единственности решения проблемы
собственных значений
В предыдущем разделе мы рассмотрели вопрос о том, какие разложения
единицы Я(Х) соответствуют данному эрмитову оператору А только
качественно, иллюстрируя его частными примерами. Систематическое изучение
этой задачи еще предстоит провести. Правда, во всей математической
полноте оно вышло бы за рамки нашей книги, и нам придется ограничиться
доказательством нескольких моментов и лишь формулировкой остальных, тем
более, что точное знание всех этих соотношений не абсолютно необходимо
для понимания квантовой механики 95).
Согласно теореме 18., непрерывность линейных операторов выражается в том,
что
(St.) .||Л/||=?С.||/1|
(С произвольно, но фиксировано).
По теореме 18. существует и еще несколько эквивалентных форм условия St.
(Stu) \(Af, g)\^C.\\f\\.\\g\\,
(St2.) \(Af, /)|=?С.Ц/|Р
(последнее только для эрмитовых операторов).
Условие Sti. , эквивалентное условию непрерывности, выражает введенное
Гильбертом понятие ограниченности. Для ограниченных (т. е. непрерывных)
эрмитовых операторов Гильберт поставил и разрешил проблему собственных
значений (сравни прим. б4), стр. 78). Но прежде чем обсуждать этот
случай, мы должны ввести еще одно дополнительное понятие.
Эрмитов оператор А называется замкнутым, если он обладает следующим
свойством: Пусть fv /2, ... есть точечная последовательность, все Afп
имеют смысл и выполняется /"->/, Afn-*f*,
тогда Af также имеет смысл и равно /*. Следует заметить, что можно
было бы определить непрерывность способом, весьма близким к этому
требованию, именно так: если все Afn и Af имеют смысл и если /"->/, то
Afn->Af. Различие двух определений состоит в том, что для замкнутости
заранее требуется существование предела /* последовательности Af п, и
только в этом предположении утверждается,
9S) Теория неограниченных эрмитовых операторов, на которую мы в
дальнейшем будем ссылаться (в дополнение к гильбертовой теории
ограниченных операторов), была развита автором (см. ссылку в прим.78),
стр. 91). Независимо к подобным результатам пришел М. Stone, Proc. Nat.
Acad. Sci. of USA, 1929 и 1930.
112 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. И
что он равен Af. В требовании непрерывности, напротив, утверждается и
существование /*.
Несколько примеров. Пусть 9^ опять будет пространством
ОО
всех f(q) с конечным интегралом I \f(4)?dq (- со < q < со),
- СО
А - оператором q .... определенным для всех /(q), для которых
ОО ОО
f\/(g)?dq и /
Я21 / (Я) I2 dq конечны, а А' - операто-
- оо -ОО
ром определенным для всех всюду дифференцируемых функ-
