Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 40

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 145 >> Следующая

Что f(q)g(q) стремится к нулю при q-показывается так же, как это делалось
в II. 5 в случае бесконечного (в обе стороны) интервала. Следовательно,
требование должно состоять в том, что /(0)if(0) - 0. Если мы положим / =
g, то увидим, что "граничное условие" есть /(0) = 0. В этом случае
обнаруживаются серьезные трудности. Решения уравнения А'у = \у те же
самые, что и при
2тс i ^
интервале - оо < q < -{- оо, именно се h ; они не принадлежат к 91^
89) Все коэффициенты Фурье исчезают, следовательно, сама функция должна
обращаться в нуль (см., например, книгу Куранта и Гильберта, цитированную
в прим.30), стр. 25).
106
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. II
и не удовлетворяют граничному условию. Последнее подозрительно. Но еще
удивительнее, что, следуя намеченному выше приему, мы должны были бы
достичь того же ?(Х), что и для интервала - оо <Я < + оо, поскольку
(несобственные, т. е. не принадлежащие к 9^) решения - те же самые. Как
примирить это с тем, что сам оператор другой? К тому же это не то, что
нам нужно, так как, если мы опять определим в гильбертовом пространстве
Fg функций
/(?) |og?< + оо, J \/(я)12 конечен^ операторы
1 Г -
М/ (<7) = F (р) - - j е h РЧ / (<7) dq.
М и /И"1:
о
СО
1 (*
M~lF(p)=f(q) = -^ J е h РЧF(p)dp(=MF{~ р)),
- кХ>
то М отображает гильбертово пространство /V всех f(q),
СО
0:g<7 <оо, j \/(q)\2dq,
О
на другое гильбертово пространство: пространство F&r всех F (р),
со
- оо^р<оо, f\F(p)\2dp.
о
В то время как, естественно, все еще выполняется \\Mf {q)\\ = \\f (q)\\
(это следует из ранее упоминавшихся теорем, если положить в них / (?) - 0
для -оо < <7 < 0), Цм-1/7 (р) || = || ^(р)!), вообще говоря, не имеет
места, поскольку, в силу упоминавшихся теорем, если мы
00 о •
1 {* pq
определим /(q) и для q < 0 формулой f(q) = -^=- j е h P4F{p)dp,
- СО
ТО
со со
1И12= / \F<J>)\2dp= / \f(q)\2dq,
- СО -со
оо
Л Af-V|ia=||/||2 = f \f(q)\*dq
РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 107
И) следовательно, || M~lF ]| < || /^Ц, если только случайно f(q)
(в той форме, как нам ее только что пришлось определить) не исчезнет для
всех q < 0. Следовательно, Е' (X) = ME (X) Ж-1 - это совсем не разложение
единицы90), т. е. наш метод отказывает.
Мы скоро увидим (в прим. 105), стр. 128), что это лежит в самой природе
вещей, поскольку этому оператору вообще не принадлежит никакого
разложения единицы.
Прежде чем закончить эти ориентирующие рассуждения, приведем несколько
формальных правил вычислений с операторами, представленными в
символической форме
СО
А = f X dE (X)
- СО
с помощью их разложения единицы.
Во-первых, пусть F будет проекционным оператором, коммутирующим со всеми
?(Х). Тогда для всех X'< X",
||Е(X") Ff-E(X') Ff |р = J(E(X") -E(X')) Ff f =
= ]/=¦(? (X") - E (X') ) / |P g§ || (E (X") - E (X')) / |p,
следовательно, поскольку Е(\"), E(k'), E(k№) - E(k), так же как и EQJ')F,
EQ')F, E (X") F - E QJ) F = (E (X") - E(l'))F, суть проекционные
операторы, то
|| Е (X") Ff |Р - J Е (X') Ff |р || E (X") / f -1] E (X') /1|9.
CO 00
Следовательно, JX2rf||?'(X)/|p^ Jx2rf||?'(X)/;'/|p. Тогда, no ,
90) Правда, в действительности верно, что M~lMf (q) - f (q) (достаточно
определить / (9) = 0 при q < 0 и воспользоваться предыдущими теоремами),
но не всегда должно выполняться MM~lF (р) = F (р), потому что, вообще
говоря, ||Af~1/:'||<^||/:'|| и, значит, ]|Л1АГ-1/:'||< Ц/^Ц.
Следовательно, М_1Af = 1, а ММ~1 ф\, т.е. М~1 не есть истинный обратный
элемент Af. (Не может существовать и никакого другого обратного элемента,
так как если бы он был, то, поскольку Af_1Af=l, он должен был бы быть
равен нашему Af *.) Как следствие этого для Е' (X) = Af? (X) Af-1,
например, заключение Е'2 (X) = Е' (X) еще может быть сделано (поскольку
сюда входит лишь Af_1Af), однако Е' (X) -*¦ ММ~гФ 1 (при Х-*со).
108 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
AFf имеет смысл, если имеет смысл А/. Далее, тогда
оо оо
AF= fXd(E(X)F) = f Xd{FE(X)) = FA,91)
- СО - OO
т. e. А и F тоже коммутируют. В частности, мы можем выбрать
любой Е(к) в качестве F (согласно 5г.). Тогда
ОО ОО
АЕ (X) = J I'd (Е (X') Е (X)) = J I'd (Е (Min (X, X'))) =
- ОО -00
к со к оо
= / + /= / X'dE(X') + / X'dE(X),
- оо А - со к
оо
и поскольку J = 0 (так как функция, стоящая под знаком диффе-
X
ренциала есть константа), то
л
АЕ(Х) =Е(к) А= fx'dE(X').
- ОО
Вдобавок отсюда следует, что
ОО 00 f к . оо
А2= f X d(E (X) А) = J Xd f X'dE(X')J =прим. 92) = J X2dE(X)-
- OO -OO \ -00 / -00
ei) Собственно это следовало бы доказать не символически при помощи
строгого уравнения
W, g)= J" X d(E (X) /, g).
Тогда преобразования выглядят так:
(AFf, g) = J X d(E (X) ?/, g) = J X rf(?? (X) f, g) =
= J Xrf(? (X) /, ?*) = (Л/, ?*) = (?Л/, g).
Отсюда следует, что AF-FA.
82) Это следует из уравнения
к
f/(X)d[fg (X') dh (V) J= f f(X)g (X) dh (X),
Всегда справедливого для интеграла Стильтьеса. Это уравнение ясно без
дальнейшего обсуждения в силу обратного характера операций d и J*. Точное
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed