Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
замкнутое линейное многообразие и, наконец, что проекционные операторы
Е(к0) = Рш> образуют принадлежащее
оператору Аг разложение единицы. Мы получим подтверждающий первое
предположение пример, полагая, скажем,
| 1, для Xs^Xj с (X) _ | ^ X < Хх
/(?) = / " * =
?
2"/
потому что эта /(#) регулярна при всех конечных значениях аргу-
оо-
мента и убывает как 1/# при ±оо, так что коне-
- оо
чей. Но и другие предположения также оказываются выполненными, как то
действительно следует из теории интегралов Фурье. В самом деле, эта
теория утверждает следующее87):
оо
Пусть /(х) - любая функция с конечным J | f(x)\2dx. Тогда
-оо
может быть образована функция
оо
Lf(x) = F(y) = -^ f e^f(x)dx,
-ОО
оо
для которой интеграл J |^(У)|2^У также конечен и именно равен
--оо
со
J \f(x)\2dx. Более того, LLf(x)^=f(-л:). (Это так называемое
-со ¦
преобразование Лапласа, играющее важную роль во всей теории
дифференциальных уравнений.)
87) Р I а п с h е г е I, Circ. Math, di Pal. 30 (1910); Titchmarsh, Lond,
Math. Soc. Proc. 22 (1924).
РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 103
'/"2*
Если мы заменим у на 1/ q, у р, то получим пре-
образование
°°
Mm = F(p)=-^ j ел P4f(q)dq,
- оо
обладающее теми же свойствами. Именно, оно отображает 9^ на самое себя
[Mf(q) = g(p) разрешимо для всякого g(p) из ^: f(q) - Mg(-p)]t оставляет
||/j| инвариантной и линейно. Согласно II. 5 этот оператор Ж унитарен.
Кроме того, Ж2/(?) = = / (- Я) й" значит, Ж "1/ (q) = Ж*/ (q) = Mf (- q),
так что Ж коммутирует с Ж2, т. е, с операцией /(?)->/(-q)-
Далее, то, что мы имели в виду относительно состояло
в следующем: /(q) принадлежит к если F(p) - M~xf{q) равно нулю для всех р
> Х0. (Здесь
F(p)~Yhc(p)
с ?(Х), определенным выше.) Но эти F(p), как мы знаем, образуют замкнутое
линейное многообразие Следовательно, и отображение 3^ этого полученное с
помощью Ж, есть также замкнутое линейное многообразие. Е' (Х0) образуется
из Е (Х0) совершенно так же, как из преобразованием всего при помощи Ж.
Значит, Ef (l0) = ME(h0)M~\ Тогда Ef (X) так же, как и ?(Х), обладает
свойствами 5*., 52.. Остается еще доказать 5з., т. е. то, что разложение
единицы Я(Х) принадлежит к А'.
При этом мы ограничимся тем, что покажем следующее: Если / (q)
дифференцируема без особых трудностей в смысле сходимости
00 со
и интеграл j | 2J///.(?)| &Ч конечен, то и интеграл J X2d|j? (Х)/||2
- ОО -ОО
оо
также конечен и (Afft g) - f Ы (Е' (X) /, g)*8).
Н д
ss) То есть Er (X) принадлежит не самому A' == ^ , но
оператору,
область определения которого включает в себя область определения А1 и
совпадает с Ж в этой области. В развитие этого замечания см. II, 9.
104 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. II
В самом деле, [М-1/ (q) = F (р)]:
^m=4rrm = -sS-^MFM) =
=? i (ft /Fiw''T"fF w ? ('T")¦^=
2nf
y1 F(p)-p-eh Pq dp = M{pF(p)).
Следовательно, для упоминавшихся /, Л'=Л1/1Л1_1 (Л оператор q ..., или,
поскольку мы пользуемся здесь переменной р, то р ...). Поскольку
сделанные выше утверждения выполняются для А, Е (X), то они справедливы и
после преобразования с помощью М. Следовательно, они выполняются также и
для А' = МАМ~1
и Е' (X) = A4f(X) М~г. Существенно иначе обстоит дело для
в интервале a^q^b (a<^b, а и Ь конечны), когда, как мы выяснили, для
сохранения эрмитовости оператора необходимо также граничное условие
/(в): /(А) = 0 (|0|=1).
h д
Уравнение f (Я) = ^f (Я) опять решается функцией
2 nl
/ (я) - се Л
но теперь интеграл
ъ ъ
f 1/(Я)12(*Я = f \c\2dq~{b~a)\c\
конечен, так что / (q) всегда принадлежит к SRoo. С другой стороны,
должно быть удовлетворено граничное условие
f{d):f(b) = i^Ha~b) = b или, если мы положим 5 = е~ы (0<а<2гс).
Очг/
~\{a - b) = - ia - 2knl (А = 0. ±1, ±2, ...),
X.-
" (? + k
8] РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ 105
Следовательно, мы имеем дискретный спектр и нормированное решение
определяется теперь условием (b-а)|с|2=1, т. е., например, с - ' г--и и
Yb - a Yb - a
(k=0, ±1, ±2, ...).
Таким образом, это ортонормированная система, но она также и полна. В
самом деле, если f (q) ортогональна ко всем срk(q), то
ai 2,tt' t , l
1 . а -г---- kq -5- X b - а \
gb-o j^ ортогональна ко всем е°~а и, значит, eilz /1 - х I
ортогональна ко всем е1кх, т. е. к 1, cos л:, sin дс, cos 2л:, sin 2л:,
... Кроме того, она определена в интервале
Ь - а ,
а = 2я Х = Ь'
длина которого равна 2тс, так что она должна, согласно известным
теоремам, обращаться в нуль89). Следовательно, f(q) - 0.
Итак, мы имеем здесь дело с чисто дискретным спектром - случай, подробно
обсуждавшийся в начале этого раздела. Следует обратить внимание на то,
как "граничное условие", т. е. 0 или а, оказывает влияние на собственные
значения и собственные функции.
В заключение мы можем рассмотреть случай полуограниченного интервала,
скажем, 0<-j-оо. Прежде всего мы опять должны убедиться в эрмитовости
оператора. Имеем
СО
(A'f> g) - (f> A's) = -^-f (Г (q)g(q) +f (q)g'{q)dq =
= "2^- [/ (<7) g (<7)10 •
