Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
прим. зг), стр. 27.)
81
РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
99
Таким образом, мы можем рассматривать как линейную комбинацию всех
решений с Х^Х0 такую /, которая Ф 0 только для Х^Х0. Но в случае чисто
дискретного спектра у нас было
т. е. состояло из линейных комбинаций всех срр с XpgiX0 или из всех
решений уравнения Af ~Xf с Х:=|Х0. Соответственно - разумеется, в
неточном и эвристическом смысле! - можно ожидать, что теперь Е (Х0) =
где состоит из тех /, которые не равны
нулю только для 9^ - состоит тогда, очевидно, из
тех /, которые для всегда равны нулю, следовательно,
Значит, мы нашли совершенно нестрогим образом семейство проекционных
операторов Е (X), от которых можно ждать, что они
удовлетворяют^требованиям Si.-S3, для нашего А, В действительности Si. и
S2. удовлетворяются тривиально, а в Si. даже случай Х->Х0 без условия
Х^Хй, т. е. Е(Х) непрерывна как функция X повсюду. Чтобы убедиться в том,
что S3, тоже удовлетворяется, достаточно доказать справедливость
уравнений:
для qt > Х0.
СО
J X*rf||?(X)/||* =
- СО
со /со
(
X
со
и-
/-1 I / (Яи • • •,4j яд 12 dqx ... dqj ... dqt
- СО
- со
- со
- со -со
fx2dl ... J I f(ql,...,qJ_l ,X,qj+i qd\2X
CO CO
CO
CO
CO CO
CO
- CO -CO
Xdq 1 ... dqj_i dqjdqj + l ... dqt^\lAf\\2,
100 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
ОО
J Xd(E(X)/, g) =
- 00
00
- j4"
- 00 ^ - 00 - 00 - 00
\ СО / со 00
X dq, ... d4j ... dqt )= Jxdxl /•••//(? ....................4)-
i,\q/+i.....?i)X
X?(?i, ....qj-uKqj+i qd dq, ... dqj_,dqj+, ...dqt
CO 00
= J ••• / q}f{qu...,qj-uqj,q]+u....qi)X
X?(?i> ¦¦¦'qj-uqj.qj+u •••.qi) dq, ... dqj_,dqjdqj+, ... dqt = {Af,g).
Мы снова, таким образом, убеждаемся, что старая формулировка проблемы
собственных значений - формулировка для точечного спектра - здесь не
пригодна, поскольку Е (X) непрерывно возрастает повсюду.
Этот пример указывает нам и в общем случае путь, на котором можно найти
Е(к) и для непрерывного спектра: мы можем определить (некорректным
образом!) решения уравнения Af = Xf (поскольку X лежит в непрерывном
спектре, эти / даже не принадлежат к 91^!) и образовать их линейные
комбинации для всех X Х0. Они уже будут частично принадлежать 91^ и,
возможно, образуют замкнутое линейное многообразие 9?л0- Тогда можно
положить
Е(к0) = Р,л , и если мы правильно выберем его, то может удастся
\ _ _
доказать выполнение Si. - S3, (для А и этих Е(к)), и тем самым post
factum преобразовать эвристические аргументы в точные85).
В качестве второго примера мы хотим рассмотреть другой важный оператор
волновой механики . Чтобы избежать ненуж-
ных усложнений, положим l = j= 1 (так же точно рассматриваются и другие
случаи). Итак, мы должны рассмотреть оператор
А'н<л=4* w/(?)-
Если область изменения q есть -сю<^<-(-сю, то это эрмитов оператор, как
мы убедились в II. 5. С другой стороны, при конеч-
85) Точную формулировку этой идеи (которую мы здесь рассматриваем
только как эвристическое утверждение) можно найти в статьях Hellin-ger'a,
J. f. Math. Bd. 136 (1909) и V/еуГя, Math. Ann. Bd. 63 (1910)).
/ " / qi)g(q qp---<qi)X
8] РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 101
ной области a^q-^b это не так:
ь ь
(.A'f, ?) - (/. A'g) = J 4ц f {q)IW)dq- J f{q)4i s' iq)dq =
a a
b
= 2Ti f W (9) g + dq = lb[f (9) -
a
h
- 2nJ lf(b)g(b) - f(a)g(a)]•
Чтобы это выражение исчезало, область определения ^-должна быть
ограничена таким образом, чтобы для двух произвольным образом взятых из
нее fug было бы / (a) g (а) = / (b) g (b), т. е. / (а): / (b) = g (b): g
(а). Если мы будем теперь менять / при фиксированном g, то увидим, что /
(а): f (Ь) должно быть одним и тем же числом 0 во всей области (0 может
также быть 0 или со);
тогда замена / на g приводит к в = ~ t т. е. |0| = 1. Значит, для
того чтобы 4[ (r)ыл ЭРМИТ0ВЬШ оператором, мы должны постулировать
"граничное условие" вида
/ (а): / (Ь) = Ь
(где 0 - любое фиксированное число абсолютной величины 1).
Сначала мы возьмем интервал -со < q < оо. Решениями уравнения Лер = Хер,
т. е. 4[ (q) - (q) будут тогда функции
ер (q) = ce h ".
Однако они непосредственно не могут быть использованы для наших
ОО оо
нужд, потому ЧТО / W(q)\2dq= / И2dq=-\- оо (если только не
- ОО -ОО
имеет места с = 0, <р = 0). Заметим, что в первом примере мы нашли
решение b(q - т. е. фиктивную несуществующую функцию
2*(
(ср. прим.84)). Теперь мы нашли е н , т. е. вполне добропорядочную
функцию, которая, однако, не принадлежит к вследствие
бесконечности интеграла от квадрата ее модуля. С нашей точки
зрения оба эти факта значат одно и то же, ибо то, что не принадле-
жит 9^, для нас не существует86).
86) Конечно, только успех в физических приложениях может оправдать эту
точку зрения и ее использование в квантовой механике.
102 ОБЩИЕ свойства гильбертова ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Как и в первом случае, образуем теперь линейные комбинации решений с
Х^Х0, т. е. функции
- и
/(?) = fc(\)eh d\.
-'ОО
Нам надо надеяться, что среди них встретятся функции из что оные образуют
