Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
в случае чисто дискретного спектра - должна строиться ?(Х). Мы имеем
EW= ,2, />[,,]")¦
Р-
(Сумма 2 может иметь 0 членов, тогда Е(Х) = 0; или положительное конечное
число членов, тогда смысл ее очевиден; или, наконец, бесконечно много, в
таком случае она сходится в силу аргументов в конце II. 4.)
80) Это точная переформулировка определения ? (X; 5, т;), данного в II.
7.
96 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
S2. в сущности очевидно, потому что при X'sgX",
?(Х")-?(Х') = 2 Р[9]
Х'<Х <Х" 1 Р-1
р -
есть проекционный оператор, поэтому Е(к')<Е(к") (теорема 14.). S\. мы
докажем следующим образом: для каждого /
2|!p[?Pj/f = 2 К/. ?Р)I2 - прим. (r)i)= II/!!2
(теорема 7.), т. е. 21P[<t^f ||2 сходится. Следовательно, для каждого г >
0 мы можем найти конечное число членов р, так что
сумма 2' взятая только по этим членам, будет > ||/||2 - е, и, зна-
р ,
чит, каждая сумма 2 > из которой они исключены, будет < г. Зна-
р
чит, также
Отсюда, в частности, следует, что
если к взято, соответственно,-достаточно малым, достаточно большим или
достаточно близким к Х0 (и Х>Х0). Тогда
E(k)f- 2 ПРИ X--оо,
хр"
/-?(Х)/ = 2/[тр]/-^082)
?(Х)/-?(Х0)/ = 2..^"i/-^°
т. е. Si- удовлетворяется.
81) Как показывает построение, выполненное при доказательстве теоремы
10., Я( ,/ = (/, ?) • у (если ||9||=1), следовательно, ||А,/|| =
= I (/. ?) I 7= I (Т. Л I-
82) Имеем (по теореме 7.):
/ =¦ 2 с/. ?р)-?р = 2^к]/-
р р р
Это следует также из рассуждений в конце II. 4.
при к->-(-оо, при к->к0, Х> Х0.
< е,
8] РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 97
Чтобы убедиться в справедливости S3., положим f - x^pj-f-4-лг2ср2+ ...
Тогда Л/ = Х1лг1ср1-|-^2л:2?2+ ••• Для того чтобы Af
СО
было определено, 2^pl^p|2 должна быть конечной. Но
р = 1
СО СО со
J Vd\\EQ,)f\\2= fwdf 2 I -^р |Л = прим-83) = 2 | АГр I2.
- СО -ОО / р=1
со со
J\d(EQ,)f, g)= хрУр'^ = ПРИМ-83) =*
СО
-Е vA=(А/'g)¦
- 00 \Х ^ X
Р
Р*1
Рассмотрим еще два случая чисто непрерывного спектра, т.
е.
такие, когда вовсе нет дискретных уровней. Пусть 9ico есть про-
странство всех функций / (дг, .... q{) с конечным
СО со
/ /1/(?1...................••• dqt,
*-00 -со
А - оператор ^г;-, ..., эрмитов характер которого очевиден.
83) По прим. 73), стр. 86,
СО k
/(21 x? i2>)=Hm SS 1 -^p 12 *
A <X J т=1 Д ,<X ЙА
p - т-1 p - т
Если везде A2- A2_j < s (т. e. если сетка A0 Aft достаточно частая),
СО
то выражение меняется на величину, меньшую е 2 I хр I2 = е II/II2; если
мы
Р=1
заменим его на сумму
i 2 sv,ia- 2 ^ы2
и если А0 достаточно мало, а А* достаточно велико, то оно произвольно
СО
близко к 2 Х2|лгр|2. Таким образом, эта сумма есть искомый предел, т. е.
т=1 '
значение интеграла.
Следующая интегральная формула доказывается в точности таким лее
способом.
7 И. Нейман
98
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. It
Мы видим, что Af - X/ приводит к тому, что (qj-X) / (qi ql) = 0,
т. е. /(<7j....<7г) = 0 повсюду, за исключением только, может быть,
(/-1)-мерной плоскости <7; = Х. Однако эта плоскость несущественна (в
соответствии со сказанным в II. 3, в связи с условием В.), поскольку ее
мера Лебега (т. е. объем) равна нулю. Следовательно, / = О84). Значит,
никогда не существует решения Af - Xf, не равного нулю. Но мы видим также
(не строго!), где можно было бы ожидать решения: (qt - X) f (q1.......^г)
= 0 означает, что f Ф 0 мо-
жет быть лишь при <7у = Х; Линейная комбинация решений с разными X,
скажем с Х - Х, X , ..., Х^\ была бы тогда /, не равной нулю только в
точках
84) В этом пункте строгий математический метод, которому мы следуем,
ответвляется от символического метода Дирака (сравни, например, его
книгу, цитированную в прим. ') на стр. 9). Последний сводится к тому, что
/, для которых (q - X) / \q) = 0, тоже рассматриваются в качестве решений
(для простоты мы положили I = j = 1, qj = q). Однако поскольку все (/, g)
=
- j f (.Я) S (.Я) dq = 0, а / должна быть ф 0, то / (q) надо мыслить
бесконечной в точке q = X (единственной, где она Ф1Q), и столь сильно
бесконечной, что (/, g) Ф 0. Поскольку при q Ф X, f (q) = 0, то f / {Я) g
(Я) dq
может зависеть только от g (X) и в действительности ясно, что интеграл, в
силу своего свойства аддитивности, должен быть пропорционален g-(X).
Следовательно, он должен быть равен eg (X), и с должно быть отлично от
нуля. Если мы заменим f{g) на -yf(g), мы получим с = 1, Значит, мы
имеем фиктивную функцию / (q), для которой имеет место / (Я) g (Я) dq =
Достаточно, конечно, рассмотреть случай Х = 0. Обозначим f(q) = b(q),
определяя ее условиями:
Для произвольных X, 8 {q - X) является решением. Хотя функции 8 со
свойством Д. и не существует, есть последовательности функций, сходящихся
к поведению такого рода (конечно, предельная функция не существует),
например:
4j - X', X" Xw.
- g (X).
Д.
Л (я)
1 , ,
2^- при | jc | < е
0 при | лс | > е
при е -> +0
или
fa (Я) = }[
а
- е
7Z
ах~ при а->-j-co. (Сравни также 1.3 и, в частности,
