Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 36

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 145 >> Следующая

второго уравнения (е = Х - Х0^0,), ?(л;/ = /, тогда как для X
< Х0,
в силу первого уравнения (е = Х0 - X > 0), ?(Х)/ = 0, Итак,
// Для Х^Х,
()/ (о для X<Xfl.
Но это необходимое условие также и достаточно, поскольку из него следует,
что
ОО
(АЛ g)= Jxrf(?(X)/, g) = \0(j, g)
- oo
(следует вспомнить определение интеграла Стильтьеса, данное
94
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1Г
в прим. 73) на стр. 86), а значит, (Л/ - Х0/, ?) = 0 для всех g, т. е. Af
- Х0/.
Что означает это условие? Во-первых, оно включает разрыв Е(к) в точке X -
Х0. По теореме 17. в II. 4, Е(к) сходится к проекционным операторам
?(1,(Х0) или ?(2,(Х0) при Х->Х0, X < Х0 и при Х->Х0, X > Х0
соответственно 7Э). В силу Si., ?<2) (X) = Е(Х0), но в случае разрыва
Е{1) (Х0) Ф Е (Х0). Далее, поскольку Е(к)^вЕ(к0) при X < Х0 (S2.), то
?(1) (Х0) Е (Х0). Следовательно, ?(Х0)- ^^(Xq) есть проекционный
оператор, и скачок характеризуется тем, что он не равен нулю.
Из того, что ?(Х) / = 0 для всех X > Х0, следует, что Е{1\\0) f - О,
однако (так как Я(Х)^? (Х0)). из второго также следует первое.
E(k)f - f для всех Х^Х0 следует из Е(Х0)/ = /-гЕ(Х0)ssЕ(X), ? (X) Е (Х0)
= Е (Х0), но, следовательно, Е(к) f = Е (к) Е (Х0) / = = E(k0)f - f.
Значит, уравнение Л/ = Х0/ характеризуется условием ?(1)(Хо)/ = О,'?(Х0)/
= /, или (теорема 14. в II. 4) {?(Х0) - - ^(Хо)} / = /. И значит, если мы
напишем ?(Х0) - ?(1) (Х0) = ,
то из предыдущего следует, что / принадлежит к 2Кх0.
Тем самым показано, что Af = \f имеет решения f 0 только в точках разрыва
непрерывности Е(к), и что эти решения / образуют замкнутое линейное
многообразие Ш\0, определенное выше.
Итак, полная нормированная ортогональная система, которую мы искали в II.
6 из решений (с возможно различными X) существует тогда и только тогда,
когда все (-оо < Х0 < оо) вместе растя-
гивают замкнутое линейное многообразие З^. [Мы обсуждали в II. 6, как
должно быть достигнуто построение этой системы. Взаимную ортогональность
Ш\0 можно продемонстрировать теперь другим способом. Из Х0 < р.0 следует,
что
= [Е О-о) - (Х0)] [Е ([Г0) - ?(1) ([Г0)] = О,
так как
Е (Х0) = ?(1) (Х0) sg Е (Х0)г? ?(1) ([г0), ?([х0)-?(1)([г0)^1 -?а)([Го).]
Не устанавливая точных критериев, при которых это выполняется, установим
только следующее: если существует некоторый интервал pj,
79) Это было показано только для последовательностей X. Однако предел
всех таких последовательностей X (X -> Х0 н X < Х0 или соответственно X >
Х0) должен быть один и тот же, поскольку две таких последовательности
могут быть скомбинированы в одну-и поскольку эта последовательность
должна иметь предел, то обе составляющие ее последовательности обязаны
иметь одинаковый предел. Из этого следует, что и в случае непрерывного
изменения X также существует сходимость (к общему пределу всех
последовательностей).
81
РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
95
р2, в котором Е (X) возрастает непрерывным образом [т. е. p.j < ?(Х)
непрерывна при p.j X gs р2, Е (рх) Ф Е (р2)], то это безусловно не
справедливо. В самом деле, при X^Spj, ?(Х)- (X) gs Е (X)
^=Е(pj), в то время как при pj<X^p2, Е(к)-?,<1)(Х)=0 в силу
непрерывности, а при р2 < X, ?(Х) - ?(1) (Х)^1-?(1)(X)^gl-Е{р2).
Следовательно, Е(к) - Е?1)(к) всегда ортогонально к ?(р2) - Е(рх).
Положим ?(pj) - ?(р1) = Р9!, тогда все 2КХ ортогональны к 9f. Если из них
будет выбираться полная ортогональная система, то Hi будет содержать
только нуль, т. е. ?(р2)- ?(р1) = 0, в противоречии с первоначальным
предположением.
Разрывы непрерывности Е(к) мы назовем дискретным спектром оператора А.
Это те X, для которых Л/ = Х/ имеет решения / Ф 0. Если мы выберем из
каждого 9Jix Ф 0 элемент / с ||/|| = 1, то вследствие взаимной
ортогональности 2Jfx мы получим ортонормированную систему. В силу теоремы
3. из II. 2, она или конечна, или образует последовательность.
Следовательно, и значения X дискретного спектра образуют, в максимальном
варианте, последовательность.
Все те точки, в окрестности которых ?(Х) не постоянна, образуют спектр А.
Мы видели, что если есть интервалы, заполненные спектром А, но не
дискретным спектром, т. е. интервалы непрерывности Е (X), где она не
постоянна, то проблема собственных значений безусловно неразрешима в том
смысле, в каком она была сформулирована в начале раздела II. 6. Мы не
будем дальше исследовать точные условия неразрешимости: она может также
возникать и при несколько других обстоятельствах, когда точки дискретного
спектра проникают во все интервалы, где есть точки непрерывного спектра.
Отделение дискретного спектра от остальной части спектра - задача
значительно более трудоемкая и выходит за пределы этой работы. (Читатель
найдет эти исследования в цитированных выше трудах Г ильберта.)
С другой стороны, мы хотим показать, как при наличии полной
ортонормированной системы срх, ер2, ... решений Лер = Хер (с Х = = Хх,
Х2, ... для соответствующих ер = ерх, ер2, . ..) - как мы будем говорить,
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed