Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
обобщению Si. - S3, от конечного на бесконечное число измерений, т. е. к
переходу от К к М..
В 9?^ мы, очевидно, должны понимать Н и ?(Х) как эрмитовы операторы, -
значит, мы должны будем попытаться найти для данного Н такое семейство
Я(Х), чтобы они сопоставлялись ему некоторым определяемым по примеру Si.-
S3, образом. Должна быть найдена Э^-аналогия Si. - S3.!
S2. остается неизменным в этом переходе, поскольку число измерений SRn
не играет в нем никакой роли. Мы только переформулируем его,
воспользовавшись результатами, полученными в связи
74) Min(a, Ь,...,е) есть наименьшее, а Мах(а, е) - наибольшее
из конечного набора вещественных чисел а, Ь,..., е.
88
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
с операторами проектирования (II. 4). Во-первых, это свойство утверждает,
что Е(Х)2 = Е(Х) при X' - X" = Х, т. е. Е(Х) являются операторами
проектирования. Но тогда S2. означает (мы можем ограничиться случаем
Х'^Х", поскольку для Х'^Х" получится совершенно аналогичный результат),
что из X' следует Е(Х')^Е(Х") (ср.
теорему 14. и последующий текст в II. 4).
S3, требует некоторой осторожности, поскольку выражение А =
+ СО
= J XdE(X) непосредственно лишено смысла, так как интеграл
- СО
Стильтьеса определен для чисел, а не для операторов. Но легко заменить Н
и Е (X) числами и это нас опять приведет к нужному операторному
соотношению. Потребуем, чтобы для всех /, g из 91^, выполнялось
+оо
(Н/. g) = / Xd(E(X)f, g),
- СО
+ СО
если только Н/ имеет смысл. Соотношение Н= J XdE(X) следует
- со
понимать символически, только как сокращенную запись предыдущего.
Si., наконец, весьма существенно затрагивается переходом к бесконечному
числу измерений. Точки, после которых Е(Х) становится равным 0 или 1, или
в которых Е(Х) испытывает скачки, соответствуют (в 9?") собственным
значениям Н, а интервалы, где она постоянна- интервалам, свободным от
собственных значений. Если теперь устремить и->-оо, то могут произойти
самые разные вещи. Наибольшее и наименьшее значения могут уйти
соответственно на -)-оо или на -оо, но остальные, поскольку их становится
все больше, могут стесниться все плотнее, так что интервалы постоянства
могут постепенно стянуться в точки. (Этот последний признак указывает на
то, что в гильбертовой теории операторов при некоторых обстоятельствах
появляется так называемый непрерывный спектр 75).) Мы должны,
следовательно, изменить Si. при переходе от 9t" к 91^ совершенно
существенным образом. Надо допустить возможность того, что изменения Е(Х)
не будут более иметь дискретного, скачкообразного характера.
С такой точки зрения очень естественно будет отказаться от требования,
чтоб функция Е(Х) принимала конечные значения 0 и 1, и
75) См. ссылку в прим.64), стр. 78, а также книжку Карлемана,
упомянутую в прим.73) на стр. 86. Нам придется иметь много дела с этим
"непрерывным спектром", ср. II. 8.
7] ПРОДОЛЖЕНИЕ 89
требовать только сходимости к 0 или к 1 (при X->- оо или х-*+ оо
соответственно). Равным образом вместо постоянства на отрезках и скачков
в точках выступает допустимость непрерывного возрастания. С другой
стороны, менее ограничительное требование, что в возможных точках
прерывности разрыв должен происходить только слева, мы можем попытаться
сохранить. Соответственно мы сформулируем Su следующим образом: при X->-
сю, Е(к)->0; при X ->¦ со, Е(к)->1, а при X->Х0, Х^Х0, Е(к) ->Е(к0)76).
Кое-что еще следует сказать относительно S3. В конечномерном
т
пространстве 3t" выполнялось A-^l^F^, если понимать под Fz
Т= 1
матрицу E(lz) - E(lz_1). В силу Su , имеем: для о > т
FZE (/а) = Е (у Е (у ~E(L_,)E (у = Е (у ~E(lz_1) = Fz, а для о т - 1
F? (у = Е (у Е (у -E{lz_,)E (у = Е (у - Е (у = 0. Следовательно,
поскольку Fa = E{la)-f(/a_1),
/% для 1 - а,
0 для т Ф о.
F F =
1 Z1 О --
Отсюда следует
Н2= Ц i,/7, = 2 W.W = 5 /fo
\т= 1 J z, a= 1 t - 1
тл \
и таким же образом Нр= ^ lzFz ). Следовательно, такое же пре-
Т=1 /
образование, что для самого Н, приводит к
+ СО
Н2= / Х2 dE(k).
- 00
Поэтому в мы предположим символическое уравнение, построенное аналогичным
образом, а значит, в числах
+0О
(Н2/. g) = / X2d(?(X)/, g).
76) Обозначая Л(Х)-"-В, (Л(Х), В - операторы в X - параметр), мы
понимаем под этим, что для всех / из 9?^, Л (X) /-"-В/. Таким образом,
это сокращенная запись утверждения о сходимости в гильбертовом
пространстве.
90 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
(Мы подтвердим это последующим построением.) Для /==? из-за (Н2/. /) =
(н/. Н/)= ЦН/112, (?(Х)/. /) = ||?(Х)/||2.
отсюда следует
+оо
ЦН/112 = j X2d(||?(X)/||2).
- оо
Эта формула, однако, дает основания ожидать, что ?(Х) не только
определяет значения Н/ в тех случаях, когда они существуют, но и
позволяет заключить, когда они имеют смысл. В самом деле, инте-
+ 00
грал J X2d(||?(Х)/||2) содержит неотрицательную функцию (Х2^0) и - 00
монотонно возрастающее выражение ||?(Х)/||2 под знаком дифференциала (ср.
S2. и теорему 15. в II. 4). Следовательно, этот интеграл по своей природе
