Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 33

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 145 >> Следующая

преобразование соответствующих строк хр1, ..., хр"! Безнадежно пытаться
совершить трудный переход к пределу п->оо с такими однозначно не
закрепленными величинами: в самом деле, как может сходиться процесс, если
по дороге Хр и х^ могут по произволу испытывать большие колебания,
которые оказываются возможными вследствие неполноты в их определении!
Но это указывает нам путь для правильного подхода к задаче: мы должны
прежде всего попытаться заменить условия D. и О. и неизвестные Хр и х^
такими, которые обладают недостающими свойствами однозначности - после
этого, как мы покажем, переход к пределу будет представлять уже меньшие
трудности.
Если I есть некоторое значение, которое принимает одно или несколько из
Хр, то выражение
т. е.
(О.)
7]
ПРОДОЛЖЕНИЕ
85
инвариантно по отношению к указанным выше (с D. и О. совместным)
изменениям Хр, хЕсли / отлично от всех Хр, то сумма равна нулю и, значит,
тем более инвариантна. Тогда эрмитова форма (? и 7j обозначают $v ..., $л
и ..., г\п соответственно)
также инвариантна (при произвольном /!). Если мы знаем Е (Z; $, г\) (т.
е. ее коэффициенты), то, отправляясь от нее, мы можем без труда вернуться
назад к Хр и х^. Следовательно, если мы сформулируем задачу о собственных
значениях (т. е. D. и О.) так, чтобы в ней фигурировала только Е (/; ?,
т|) вместо X , jc^, то мы достигнем желаемой однозначной формулировки.
Итак, пусть Е{1) будет матрицей эрмитовой формы ?(/; ?, т]) 72). Что
будут значить условия D. и О. в применении к семейству матриц Е(1)?
Условие О. означает: Если / достаточно велико (именно, больше, нежели все
Хр), то Е(1)-\ (единичной матрице). Из природы Е(/) следует также, что
если / достаточно мало (именно, меньше всех Хр), то ?(/) = 0 и если /
возрастает от -оо до +со, то Е{1) везде постоянна, за исключением
конечного числа точек (различные среди значений \v ..., Хл, которые мы
назовем 1Х < /2 < ... < /т, т ^ л), где она изменяется скачками. Далее,
скачок лежит слева от этой
ава как функция от /, тогда как
(матричное произведение!).
Удобнее доказать это для ?(/'; ?, 7|), В (Г; ?, т]) в системе координат
Jj, ..., и pj, ..., рл. Вводя эти координаты, мы получим из ?(/'; т])
и ?(/"; ?, rj)
\lx=l
при Z'ig/"
Я (/') ? (/") = ? (/") ? (/') = Е (/')
., как мы это покажем,
П
") Т. е. ? (/) = (I)), ?(/;?, i))= 2 соответственно
86 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Следовательно, матрицы эти таковы: нули всюду, кроме диагонали, 1 на р-м
месте диагонали, если или соответственно s§=I">
в противном случае также нуль. Для таких матриц высказанное выше
утверждение очевидно.
Переформулируем теперь еще и D.. Оно означает, очевидно,
п т
2 м^=2М?('д i т,)}
|J., У ± 1 Т= 1
(/0- какое-нибудь число, меньшее /х). Но поскольку Е(1\ 5, у) Постоянно
на каждом из отрезков
ОО <С / <С /х! /х 2§= I "С ^2-' • • • * ^т-1 I <'' ^т' ^т ^ "I-
то для любого набора чисел
А0<А1<А2< ... <ЛА. если lv ..., 1т входят в число Лх ЛА, выполняется
п _ А
2 Л 5,71 = 2 Лт {?(ЛТ; I V)) -Б(ЛТ_Х; ?, tj)}.
11, 4=1 ^ Т=1
Применяя интеграл в смысле Стильтьеса73), мы можем переписать это как
п +оо
. 2 л^,1= / I, 7J)
)1, v=> 1 - оо
73) Об интеграле в смысле Стильтьеса см. Perron, Die Lehre von den
Kettenbruchen, Leipzig, 1913, а также в смысле специального применения к
требованиям операторной теории С а г 1 е m a n, Equations intfegrales
singu-Нёгев, Upsala, 1923. Читателю, менее заинтересованному в этих
вещах, достаточно следующего определения: для разбиения А0, А1( ..., Л*
интервала а, Ь,
flgЛ0 < Ai < ... < АкШЬ
образуем сумму
к
2/(A,){i?(AT)-g(AT_1)}.
TS5 1
Если она всегда сходится, когда разбиения А0) А], А2, ...,Аа делаются все
меньше и меньше, то существует интеграл
ъ
J / (*) dg (х), а
определяемый как предел сумм. (Для g (х) = х он переходит в известный
интеграл в смысле Римана.) [Относительно русских руководств по интегралу
Стильтьеса ср. прим.52) на стр. 51.-Прим. ред.]
7]
ПРОДОЛЖЕНИЕ
87
(+со b
I может быть, очевидно, заменен на любой I , с а < /1(
-со
?> > , или, если мы рассмотрим коэффициенты и напишем
для са-
мих матриц уравнение, справедливое для всех коэффициентов, то как
+ 00
н= f XrfE(X),
гдеН = {Л^}.
Итак, пока возникла следующая задача: Для данной эрмитовой матрицы Н =
{Л^} надо разыскать семейство эрмитовых матриц Е (X) (-oo<X<-J-oo) со
следующими свойствами:
Si. При достаточно { больших} X'?(x) = {i}- Е М (как
функция от X) постоянна всюду, за исключением конечного числа точек, где
она изменяется скачками. Скачок всегда происходит слева от данной точки.
Si. Всегда Е (к') Е (X") = Е (Min (X', X"))74).
S3. Выполняется (с интегралом в смысле Стильтьеса)
+ 00
Н= J XdE(X).
Мы сейчас не будем останавливаться на Обратном рассуждении - отправляясь
от Si. - S3, вернуться к решениям D. и О. (хотя это было бы совсем
просто), потому что только последняя форма проблемы собственных значений
будет нужна нам для квантовой механики. Вместо этого мы сразу перейдем к
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed