Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 32

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 145 >> Следующая

ортогональны. Следовательно, полный набор всех
?P,v (Р=1> 2- v==1 V
также образует ортонормированную систему. Зная источник этой
системы, мы замечаем, что на нее натянуто то же самое замкнутое линейное
многообразие, что и на все решения ср проблемы Е,.
Пронумеруем cppi v в любом порядке, обозначая их через ф2.........
соответствующие им X - через Х(1), Х<2), ... Итак, сформулированное
прежде утверждение, что все решения Е. должны растягивать Dtco как
замкнутое линейное многообразие, гласит теперь, что это должны делать уже
только ф2, ... (подмножество решений!) - и, следовательно, по теореме 7.
я), что эта ортонормированная система полна.
Таким образом, решение проблемы собственных значений в смысле квантовой
механики требовало бы найти как раз столько решений
ср = фР ф2, ... и X = Xlt Х2, ...
проблемы Е., чтобы из них можно было образовать полную нормированную
ортогональную систему. Это, однако, в общем случае никоим образом
невозможно. Так, например, в волновой теории мы видим, что часть решений
Е. (т. е. Е2. из I. 3), - а ведь нам нужны все, чтобы можно было
разложить по решениям каждую волновую функцию (ср. замечание выше), - не
обладает конечным интегралом от квадрата абсолютной величины69), т. е. не
принадлежит гильбертову пространству. В последнем же (а ведь в Е2. мы
учитываем лишь его) не оказывается поэтому полной нормированной
ортогональной системы решений.
С другой стороны, гильбертова теория проблемы собственных значений
показывает, что это явление отнюдь не представляет исключения в поведении
операторов (даже для непрерывных70)). Значит, нам придется разобраться в
том, что это означает физически; ср. III. 3). Если это явление имеет
место, т. е. если ортонормированная система, составленная из решений Е. ,
не полна, то говорят, что у Н есть "непрерывный спектр"
("Streckenspektrum"), (Xlt Xj, ... образуют "дискретный" спектр
("Punktspektrum") Н).
Наша следующая задача состоит в том, чтобы найти, поскольку Е. не
годится, формулировку проблемы собственных значений эрмитова оператора и
применить ее к квантовой механике. Прежде всего мы должны, следуя пути,
указанному Гильбертом (ср. прим. 70)), объяснить постановку проблемы
собственных значений.
в9) Ср., например, как рассматривает Шредингер задачу об атоме водорода;
работа, цитированная в прим. 16), стр. 18.
70) Ср. работу, цитированную в прим.в4), стр. 78.
7]
ПРОДОЛЖЕНИЕ
83
7. Продолжение
Уравнение
Нср = Хер
и требование, чтобы из его решений можно было построить полную
ортонормированную систему, перенесены по аналогии из конечномерного С1Л.
_
В 91л, Н--это матрица {й^}, p., v=l п; Л^ = Лт, и тот
факт, что решения ср={д;], х2, .... хп} уравнения Нср = Хер, т. е.
П
2 V*"=x-v
V= I
содержат полную ортонормированную систему, хорошо известен в алгебре7I).
Это свойство 9t", как мы видели, не может быть перенесено в
непосредственным переходом п-> оо. Таким образом, проблема собственных
значений в 9?^ должна быть сформулирована иным способом. Сейчас мы
увидим, что проблема собственных значений в 9?л может быть преобразована
к такому виду, что в этой новой формулировке (которая в 9?л эквивалентна
старой) переход к п->оо становится возможен. Иными словами, обе
формулировки выражают во всех 91л (п- 1, 2, ...) одно и то же (а именно -
что эрмитову матрицу можно привести к главным осям), но одна может быть
распространена на в то время как другая, напротив, нет.
Пусть {л;,!......л;]Л}, ..., {д;л1, ..., д;лл} будет полной орто-
нормированной системой из решений уравнения для собственных
значений и X] Хл будут соответствующие X. Итак, векторы
{*п.......*]л}....... {д;л1 *лл} образуют декартову систему
координат в 9?л. Тогда формулы преобразования координат j]( ..., в этой
координатной системе к некоторым другим ?lt ..., $л имеют вид
{$!, ..., У =5i {*11. .... *!"}+ ... +5я {¦*"!. •••' Хпп}>
т. е.
п п
== S .... S/i= 2 (1=1 |1=1
а для обратного преобразования
я я
5l == .... Ъп == 2 *Я(1^(1*
|1=1 (1=1
7|) Ср. книгу Куранта и Гильберта, цитированную в прим.30), стр. 25.
6*
84
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. II
П
Мы можем записать условия 2 = ^pxph с помощью переменных jj, .
. ., и нового ряда переменных у\п (с соответ-
ствующими им по предыдущей формуле l)j, tyn) в виде
Тогда декартов характер координатной системы выражается формулой
Итак, отыскание матрицы {л: } со свойствами D. и О. - вот что
эквивалентно в Шп решению проблемы собственных значений; в такой форме
переход к нам не удался. Эта неудача отнюдь не неожиданна по следующей
причине. Именно, условия D. и О. не определяют неизвестные Хр и х^"
полностью. В самом деле, как показывает теория этого "приведения к
главным осям" (см. прим. 7I), стр. 83), величины Хр определяются
единственным образом с точностью до порядка, но положение с л:
гораздо хуже. Очевидно, что каждую строку
хр1 хр" можно домножить на множитель др абсолютной величины 1, если же
некоторые Хр совпадают, то возможно даже произвольное унитарное
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed