Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
эрмитовом А и произвольном X оказывается эрмитовым и оператор XАХ*:
(X АХ*)* = Х**А*Х* = X АХ*.
Следовательно, например, эрмитовы все XX* (А~ 1) и Х*Х (X - заменяется на
X*). При унитарном U, UAU~ эрмитов, поскольку U'l = U*.
Непрерывность для операторов, так же как и для численных функций обычного
анализа, является свойством первостепенной важности. Мы поэтому хотим
сформулировать несколько характерных условий существования этого свойства
для случая линейных операторов.
Теорема 18. Линейный оператор R непрерывен всюду, если он непрерывен в
точке f0. Необходимым и достаточным условием для этого опять является
существование постоянной С такой, что всегда \\Rf\\?S*C • ||/||. В свою
очередь, это условие эквивалентно тому, что всегда справедливо
|{Rf, g)\^C- il/Ц • Ы|.
Для эрмитовых R этого достаточно потребовать только для f = g- \(Rf.
/)|=С- ||/||2 или, поскольку (Rf, /) вещественно (прим.61) на стр. 76),
~C.\\f\\^(Rf, /)^С. il/il2-
ии
3) При данном J \y(q)\2dq как J q2\<f(q) \2dq, так и f
I ? (?)
d_ | dq
dq
можно сделать произвольно большими. Возьмем, например, <f (q) = ае bq2.
Все три интеграла конечны (Ь > 0!), но пропорциональны соответственно
аЧ~\ е?Ь~\ аЧ\ так что любым двум из них могут быть предписаны
произвольные значения.
78
ОБЩИЕ свойства гильбертова пространства
[ГЛ. II
Замечание. Концепция непрерывности операторов восходит к Н i 1 b е г t'y
м). Он характеризовал это свойство как "ограниченность" и определял его
предпоследним из данных выше критериев. Если в последнем критерии всегда
выполняется только одно из неравенств, то R называется полуограниченным:
сверху или снизу. Например, всякий дефинитный оператор полуогра-ничен
снизу (с С = 0).
Доказательство. Непрерывность в / = 0 означает, что для каждого е>0
существует такое 8 > 0, что из ||/|| <8 следует ||#/|| < s- Тогда из ||/
- /0|| <8 следует, что
1|Я(/-/о)Н = 1|Я/-Я/о11 <е-
т. е., что R непрерывно также в / = /0 и, следовательно, всюду.
Если выполняется || Rf\\^C• ||/|| (конечно С>0), то мы можем доказать
непрерывность, положив 8= Напротив, если имеется непрерыв-
2
ность, мы можем определить 8 для е=1 и положить С = у.
\\Rf\\^
выполняется для / = 0 без дальнейшего. Для / =? 0, т. е. 1 .
Ибо
>0
пусть g ¦¦
2 1
-jfTii-/• В этом случае ||g||=y8 и, следовательно,
11%11 =jff II "/II <Ь
ЦЯ/11 < Щ =с 25
Из ||Я/||=§С. II/H следует, ' что |(/?/, g)\ ^ ||Я/|| • ||?|| ^
¦ H/il • Ill'll • Напротив, из \(Rf, ?)| <С • ||/|| • Ц^Ц мы получим.
||/?/||2<С • ||/|| • ||g-1|, если положим g - Rf, и, следовательно,
jj/?/jj^C- ||/||. Еще остается показать, что для эрмитовых R из |(Я/.
f)\^C- II/H следует |(Rf, g)\^C-\\f\\ • ||?||. Подставляя
f + g " f-g
2 2
I Re (Я/, g)| =
вместо /, получаем:
f+g f+g
SC(
-{R
f+g
f-g f-g 2 ' 2
f - g
= C
ll/ll2 + llgll2 65)
R
64) Gottingen Nachrichten, 1906.
65) В приведении к этому виду важна эрмитовость оператора R:
f + g tf + g^j f - g
(в третьем шаге).
(,Rf,g) + (f.Rg) 2
; Re (/?/, g)
5] ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 79
Подставляем теперь af, вместо /, g, как при доказательстве
теоремы /.. Минимизируя правую сторону, получим |Re(/?/, gOjss = С •
ll/ll ' И^гИ- Затем, заменяя / на eiaf (а - вещественно), получим в
качестве максимума левой части
|(Rf. g)\^C- ll/ll • ||^[|.
Конечно, это справедливо только, если Rg определено, но поскольку эти g
всюду плотны, a Rg вовсе не входит в окончательный результат, то в силу
непрерывности это выполняется всегда.
Докажем еще одну теорему о дефинитных операторах:
Теорема 19. Если R эрмитов и дефинитный оператор, то всегда
\ЩГ7)\ УШГТШиГТ)
и, значит, из (Rf, /) = 0 тогда следует, что Rf = 0. Доказательство.
Приведенное неравенство следует из справедливости (Rf.f)^ 0
(дефинитность) совершенно так, как в теореме 1. доказывалось неравенство
Шварца |(/, ^)| =? У(/. f)(g< g) (т. е. ^ U/Ц • Ц^Ц), исходя из (/, /)^0.
Если теперь (Rf, /) = 0, то из этого неравенства следует также, что (Rf,
g) = 0, если Rg имеет смысл. Следовательно, оно выполнено для всюду
плотного множества g и, значит, в силу аргументов непрерывности, для всех
g. Значит, Rf - 0.
Наконец, мы коснемся важного понятия коммутативности двух операторов R,
S, т. е. отношения RS = SR.
Из RS = SR следует, что
5 . . . SSR = S ... SRS = S ... RSS = ... = RS ... SS.
т. e. R и Sn коммутируют (n = 1, 2, .. .). Поскольку R • 1 = 1 • R = R и
5°=1. то это верно и для га = 0. Если существует S1, то 5 1 • SR • =
S-1 • RS ¦ S~l и, поскольку
S"1 • SR • S'1 = 5-15 • R ¦ S~l = RS~l, 5-1 • RS • S'1 = S~'R - SS-1 =
S~[R,
то и S~lR - RS~l. Так что п = - 1 и, значит, и п = -2, -3, ... также
допустимы, т. е. R коммутирует со всеми степенями 5. Повторные
рассуждения показывают, что все степени R коммутируют со всеми
степенями 5. Если R коммутирует с 5 и с Т, то он, очевидно,
коммутирует со всеми aS, а также с S+T, ST. Вместе с ре-
зультатами, полученными выше, это означает, что если R, S коммутируют, то
коммутируют также любые полиномы из R с любыми полиномами из 5. В
