Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
сходимость всех интегралов
ОО ОО
f ... f ... dqx ... dqk
*-00 - оо
l д д ,
несомненна 1так как <р, ф, принадлежат пространству
Гильбертаj, так что важно только именно его равенство нулю. Но
если бы он не был равен нулю, то (несомненно существующий) предел при ^4-
оо (или при qt-> - оо) выражения
ОО ОО
f ¦ ¦ > f <p(qi qk)ty(qi qtddq\ • • • dqx_x dql+1 ... dqk
-CO -00
был бы не равен нулю, что несовместимо с абсолютной сходимостью интеграла
ОО ОО
/ • • • / ? (?1 qk) Ф (4i qk) dq\ ... d4l_x dqx dql+1 ... dqk
-oo -oo
(cp, ф принадлежат пространству Гильберта!).
5] ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 75
Если А есть интегральный оператор A'f(9i Як) =
СО СО
==/••• f К (qi Чь' я\ Я*) 4{я[ Як) dq[... dq'k,
- ОО -ОО
то непосредственно получаем следующее утверждение: А* есть также
интегральный оператор, однако ядро его не K(qx qk; q\ q^), но
К{я\ Яи', Яг Чк).
Рассмотрим теперь положение вещей в матричной теории, где пространство
Гильберта состоит из последовательностей хг, х2, ...
ОО
с конечной 2|-*>I2- Линейный оператор А переводит {лгр лг2, ...} *1=1
В {Ур у2, ...}
A{xv х2, = у2, ...},
где вследствие линейности А, ух, у2, ... должны зависеть от лгр лг2, ...
линейно
ОО
Уц=2 a^v60)-
V = 1
60) Это рассуждение не точно, поскольку оно оперирует понятием
линейности в случае бесконечных сумм и прочего. Но оно может быть
улучшено таким образом: Пусть <?i, <ра, ... будет полной
ортонормированной системой,
ОО ОО
а А и Л* - сопряженными операторами. Пусть /= 2-*:v'Pv> Af = 2УуУу
У=1 V=1
Тогда
ОО
Ун = {Af, <рд = (/, A*^) = 2 (/, <fv) =
v=s I
[в силу теоремы 7., у)]
ОО ОО
= 2 (v А'ь) = 2 <tf)
V=1 V=1
Если мы теперь положим fy.)" т0 получим формулу из текста
оо
у"=2 а^х-<' где Уже обеспечивается абсолютная сходимость.
V - 1
В гильбертовом пространстве последовательностей хг, ... последо-
вательности <f1 = 1, 0, 0, ...;<р2 = 0> 1,0,...; ...; ... образуют полную
ортонормированную систему (в чем можно легко убедиться). Тогда для
оо оо
/=(¦*1. хг,,..) имеем /=2 а для Л/=(у,, уа, ...) имеем Л/=2
V=s 1 *=1
чем достигается полное согласие с текстом.
Если мы образуем a*v для А , то увидим, что
V = (А,. т>) = (<Р,. А'Ь) = Щ7%) = ЧГ-
76
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Следовательно, оператор А характеризуется заданием матрицы а^ч. Легко
видеть, что матрица cv(1 (комплексно-сопряженная транспонированная!)
соответствует оператору А* (см. прим, 60)).
Аналогия с положением в матричной теории, которую мы сейчас обнаружили,
подсказывает нам способ ввести понятие эрмитова оператора, которым мы
сейчас и воспользуемся. Одновременно мы введем два других понятия,
которые окажутся существенными для наших дальнейших целей.
Определение 9. Оператор А назовем эрмитовым, если Л*=Л. Назовем его также
дефинитным, если всегда (Л/. /)>061).
Оператор U назовем унитарным, если UU* = U*U = 162).
* _ ^
Для унитарных операторов мы, таким образом, имеем U -U . По определению,
(Uf, Ug) = (U*Uf, g) = (f, g),
значит, в частности, (при / = g-), \\Uf\\ = ||/||. Напротив унитарная
природа оператора слёдует из последних свойств, если U определен повсюду
и принимает все значения (ср. прим. 62)). Мы доказываем это следующим
образом: во-первых, если верно, что
11^/11 = 11/11.
то, значит,
(Uf, Uf) = (/, /); (U*Uf, /) = (/, /).
f L nr f __ nr
Если мы заменим здесь / на -и другой раз на -g-5- и вычтем их друг из
друга, то, как легко подсчитать,
Re(Uf, Ug) = Re(f, g).
Если мы подставим if вместо /, то получим 1ш вместо Re. Итак, вообще
справедливо, что
(Uf, Ug) = (f, g), т. e. (U*Uf, g) = (f. g).
При данном / это верно для всех g, значит, U*Uf - f, и поскольку это
выполняется для всех /, то U*U - 1. Мы должны еще показать, что UU* ~ 1
также. Для каждого / существует g такое, что Ug = f, значит, UU*f = UU*-
Ug=U.U*Ug = Ug = f,cjiem-вательно, UU*= 1.
Поскольку вследствие линейности
\\Uf-Ug\\ = \lU(f-g)\\ = \\f-g\\,
el) (А/, /) вещественно в любом случае, так как равно
(А*/, /) = (/, Af) = (Ж7)-
в2) Следовательно, U, U* должны быть определены повсюду. Далее они
обратны друг другу и, следовательно, принимают каждое значение один и
только один раз.
5] ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 77
то каждый унитарный оператор непрерывен, что отнюдь не обязательно для
эрмитовых операторов. Например, операторы q ... и
-2~- . •., столь важные для квантовой механики, - не непрерывны63).
Из наших формальных правил исчисления для А* немедленно следует, что если
U, V унитарны, то будут унитарны и U~l, UV, следовательно, и все степени
U. Если А, В эрмитовы, то А + В также эрмитовы. Напротив, а А - эрмитов
лишь при вещественных а (исключая Л = 0), а АВ эрмитов, лишь если А и В
коммутируют, т. е. если АВ - ВА. Далее мы знаем, что все проекционные
операторы (и в частности 0,1) эрмитовы и что эрмитовы операторы
qt, ..., и те0Рии Шредингера. Вместе с А эрмитовы
и все его степени (так же, как и А~ , если он существует), равно как и
все полиномы с вещественными коэффициентами. Замечательно, что при
