Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
интерес.
Определение 7. Оператор А называется линейным, если область его
определения есть линейное многообразие, т. е. если она содержит все axfx-
\- ... -\-akfk вместе с fk,
и если
¦'4(ai/i~f" ••• = aH/i + ••• +а;ИЛ-
В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные операторы и именно
лишь такие, область определения которых всюду плотна.
Последнее замечание позволяет найти - во многих случаях эффективную-
замену требования об определенности оператора повсюду, от которого в
квантовой механике нам приходится отказаться. Это обстоятельство
достаточно важно для нас, чтобы рассмотреть его более подробно. Для
примера рассмотрим конфигурационное пространство в волновой механике
Шредингера, которое для простоты возьмем одномерным: -оо<7<-)-оо.
Волновыми функциями будут ср(q)
СО
с конечным J \ y{q)\2dq, они образуют пространство Гильберта
- со
(ср. II. 3). Рассмотрим операторы q, ... и -¦ ... Они, оче-
видно, линейны, но их области определения ни в коей мере не охватывают
все гильбертово пространство. Для q, ... это не так, потому что
оо со
J 1?т(?)12^= / ч2Ыч)?ая
- оо -оо
72
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
может легко оказаться бесконечным, даже при конечном j\y(q)\2dq,
- СО
так что qy{q) не будет принадлежать более гильбертову пространству. Это
не так и для > поскольку существуют недиф-
СО
ференцируемые функции, так же как и такие, для которых / |ср(<7) 12dq
конечен, а
/1
2
dq
не конечен (например, |<7|2 е-?2 или е~^ sin (е?2)). Однако их области
определения всюду плотны: Оба оператора, разумеется, применимы к каждой
ср(<7), которая 0 лишь в конечном интервале - и всюду непрерывно
дифференцируема; а такое мно-
жество функций повсюду плотно59). Определим далее:
Определение 8. Два оператора А н А* назовем сопряженными, если они имеют
одну и ту же область определения, причем в этой области
(Л/, g) = (f. A*g), (A*/, g) = (J, Ag).
(Заменяя взаимно f,g и производя комплексное сопряжение с обеих сторон
равенства, убеждаемся, что каждое из этих соотношений следует из другого.
Далее ясно, что связь А с А* симметрична, т. е. что А* ч А также
сопряженные, так что Л** = А)
59) В соответствии с изложением II. 3 (при обсуждении условия Е.) нам
достаточно уметь аппроксимировать с любой точностью все линейные
комбинации следующих функций: / (х) = 1 на множестве, состоящем из
конечного числа интервалов, и равно 0 всюду вне их. Это удается, если мы
будем уметь аппроксимировать каждую из этих функций в отдельности; в свою
очередь достаточно научиться делать это для функций с общим 1-интер-валом
(остальные функции будут суммами таких). Пусть, например, интервалом
будет а < х < Ь. Функция
/ (х) = 0 для х<а-е или х > 6 -{- е,
^/ч ., я а - х
f (х) = cos2 -g-- --- для а - е ^ х g я,
*/ \ п х-.Ь , ___ , .
f (х) = cos2-g-- ---- для о 6-j-е,
/ (х) = 1 для а < х < b
в самом деле удовлетворяет нашим требованиям регулярности и вместе с тем
приближает заданную функцию произвольно точно при достаточно малых е.
5]
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
73
Заметим дальше, что для А может быть найден лишь один
сопряженный оператор А*, т. е. если А есть сопряженный к А* и
* * *
к Ачу то А\ = А2. В самом деле, для всех g, для которых определено Ag,
С4*/. §•) = (/, Ag) = {&f, g),
* *
и поскольку эти g всюду плотны, A\f - A^f. И так как это выполняется
всегда, то А\ - А?. Следовательно, А* определено по А однозначно, так же
как и А по А*.
Мы немедленно можем убедиться в том, что 0,1 и вообще все проекционные
операторы Е самосопряжены (ср. теорему 12.), т. е. для них 0*, 1*. Е*
существуют и равны соответственно 0, 1, Е. Далее, (аА)* = аА* и, если
только А+В может быть вообще определено (т. е. если их области
определения всюду плотны), то (М±В)* = = А* + В*. Наконец, при
ограничениях на область определения, которые могут быть легко
установлены, (АВ)* = (В*А*) (ведь (ABf, g)* =
= (В/, A*g) = (/, B*A*g)), равно как и (М ')* = А* , так как
{А'7, g)=(A-'f, A*A*~'g) = (AA~lf, А*~'g) = (/, A*~lg)).
В частности, для случая волновой механики Шредингера (которую мы
рассматривали и раньше, но здесь будет иметься в виду A-мерное
конфигурационное пространство), когда гильбертово пространство состоит из
ср{cj\, .... qk) с конечными
СО СО
/ • • • /1?(?1 ¦ ¦ ¦ аЯи<
-со -со
h д
мы имеем для операторов qt, ... и ^-г - , ...
, ч* / / h д \* h д
('ql) - \b^~dql) ~2nfdqj'
Первое очевидно, поскольку
СО СО
/ • • • f Яг? (я Як) ¦ ф(?1 Як) dqI • • • =
-оо -со
оо со
= /•••/ ?(?! qk) -ЯгНЧ1. Як)аЯх • • • dqr
- СО -ОО
74 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Второе утверждает
СО ОО
/•¦• .....qk)'W^^k)d4i •••dq* -
со оо
/••• /?(* ........................................ qk)dqi ... dqk,
-оо - оо
т. е.
оо оо
/••• **) +
+ ?(?!................+ dk)}dqx ...dqk = 0,
-со - оо
т. е.
оо оо
Нш Г... Г ftp (9,........................9,*)ф(9,1.........х
А-> + оо J J 1
-со -со
в-> + оо ¦
х^, ... dqt^dql+l ... dqk = 0. Предел должен существовать, поскольку
