Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
оператор. Для/isw, [[Д^/Ц^ЦД,/!!, и при /-> оо мы получим ll^m/il =?
\\EfW, следовательно, Ет^Е (теорема 15.).
Если Ех, Е2, ... суть попарно взаимно ортогональные проекционные
операторы, то Ev Ех^\-Е2, Ех -(- Е2 -(- Е3, ... суть также проекционные
операторы, и они образуют возрастающую последовательность. Поэтому они
должны сходиться по теореме 17. к проекционному оператору, который больше
каждого из них и который мы можем обозначить через Ех-\-Е2-\- ... Пусть
Ei = Pmi, Е2 = Р>м2> .... Ех-\~Е2-\- ... -'Рш- Поскольку все Ет^.Е, то Шт
есть подмножество 5ft и, следовательно, 5ft включает также [Sftp 5ft2, ..
.] = 5ft! + 5ft2+ ... = 5ft. С другой стороны, все 5ft" суть подмножества
5ft', значит, Ет-^РШ< - Е'. Поэтому по непрерывности (ср. аргументацию в
приведенном выше доказательстве) Е-^Е', т. е. 5ft есть подмножество 5ft'.
Таким образом, 5ft = 5ft', Е - Е', т. е. 5ft = Ш?! -f- 5ft2+ ... или,
переписанное другим способом,
Рш1+т2+ ... - + Рт2 + • • •
На этом мы закончим изучение проекционных операторов.
б. Операторы в гильбертовом пространстве
Теперь мы в достаточной мере познакомились с геометрическими отношениями
в бесконечномерном (гильбертовом) пространстве Sft^, чтобы можно было
обратиться к линейным операторам в нем, т. е. к линейным отображениям
Sft^ на самого себя. С этой целью придется ввести некоторые понятия,
которые по существу уже были .предвосхищены в некоторой мере в последних
разделах.
В предыдущих разделах мы уже имели дело с операторами; мы определим их (в
соответствии со сказанным там перед теоремой 11.) следующим образом;
Определение 6. Оператор R есть функция, определенная на подмножестве 5ft,
со значениями из 5ft, т. е. соответствие, которое сопоставляет некоторым
элемента^ / из 5ft элементы Rf из 5ft.
(Мы допустили здесь и 5ft" в дополнение к Sft^. Следует обратить внимание
на то, что если 5ft," есть Е$, то оператор R определен
70 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ II
для элементов Fs, т. е. обычных функций в конфигурационном про-странстве,
причем его значениями будут такие же функции. Итак, операторы оказываются
так называемыми "функциями от функций" или "функционалами". Сравни
примеры в I. 2,4). Класс /, для которых определено Rf- область
определения R - не обязан включать в себя все 9t, если же он включает все
9t, то R называется определенным повсюду. Кроме того, нет никакой
необходимости, чтобы множество всех Rf - область изменения R (отображение
области определения, осуществляемое R) - содержалась в области
определения R, т. е. если Rf определена, то из этого еще не следует с
необходимостью, что R(Rf) = R2f имеет смысл58).
В предыдущем разделе мы уже установили, что надо понимать под R + S, aR,
RS или Rm (R, S - операторы, a-комплексное число, tn = 0, 1, 2, . ..):
(R ± S) f = Rf ± Sf, (aR) f = a • Rf, (RS)f = R(Sf), R°=l, R' = R, R2 =
/?/?, R3 = RRR, ...
Для установления областей определения этих операторов следует заметить,
что левые стороны (т. е. операторы R + S, aR, RS) определены только, если
определены также и правые части. Таким образом, например, R + S
определено лишь в общей части областей определения R и 5, и т. д. Если Rf
принимает каждое из своих значений лишь однажды, то R обладает обратным
оператором R~': R~lf имеет смысл, если Rg = f имеет решение g, и g есть
его значение (/?-1/ =* R~lRg = g)- В предыдущем разделе уже шла речь о
законах счета для операторов R ± S, aR, RS, здесь мы добавим еще
несколько слов относительно соответствующих областей. Операторы,
определенные там в качестве равных, имеют также совпадающие области
определения, однако такие операторные уравнения, как 0 ¦ R = 0,
несправедливы для областей определения. Выраже-
и) Так, например, если 9^ есть Fs, где ?2 - пространство всех
вещественных х, - оо < х < со, то djdx есть функция от функции, т. е.
оператор, определенный, однако, в нашем смысле только для тех / (.*),
которые, во-первых, дифференцируемы и, во-вторых, обладают конечным
d 1^
-j- f (л:) dx (ср. II. 8, где этот вопрос обсуждается подробнее). Есте-
rf1
ственно, что тогда в общем случае ~?~г f (х) не обязана существовать и
/
S
-d?rf(x)
2
dx не обязан быть конечным. Например, такого рода по-
?
1а-х*
ведение будет у функции f (х) = \х\ е ,
5]
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
71
ние 0- / имеет смысл всегда, а (0 •/?)/, по определению, имеет смысл
только когда определено Rf (если, однако, оба они определены, то оба =0).
С другой стороны, когда выполнено 1-/? = == R ¦ I = R и Rm • Rl = Rm+l,
то это же верно для соответствующих областей определения.
Если R, S имеют обратные операторы, то RS также обладает обратным
оператором, который, как легко видеть, имеет bha(/?S)_1 =
= S~lR~l, Далее, для а Ф 0, (aR)~l = ~ R~l. Если существует
то мы можем образовать и другие отрицательные степени R:
/Г^/Г1/?-1; ____
После этих общих замечаний мы перейдем к более детальному исследованию
тех специальных классов операторов, которые представляют для нас особый
