Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
А из 2R и У из 3?, следовательно, Eh = h, Fh = PEh = 0, Fj - j, Ej - EFJ
= 0. Но, значит,
(?+ F) (h + j) = Eh + Fh + E]+ Fj = h + j, (?+ P) g = g.
Следовательно, g представим в виде (E-{-F)g. Тем самым {ЗШ, 3(} есть
множество значений Е-\-Р, но поскольку Е-\-F есть проек-
4]
ЗАМКНУТЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
67
ционный оператор, то {5ДО, S'?} есть соответствующее замкнутое линейное
многообразие (теорема 11.). Поскольку {Ж, 9?} замкнуто, то {9)i, 9?} =
[5Щ, 9?] == -|- 9J. Теперь положим EF = F (значит,
и FE=F тоже). Тогда Е = Р,Ш, 1-/7 = АД_3!, следовательно, Е - F - E - EF
= E{ 1 - F) равно Ар, где ф - общая часть 3W и Я - 91. т. е. 2R - 51.
Наконец, EF - 0 означает, что всегда (EFf, g) = 0, т. е. что (Ef, Fg) =
0, иными словами, это значит, что все 5Ш ортогонально ко всему 9J. A EF =
F означает, что Е(1 -?') = 0, т. е., что все 9? ортогонально ко всему 9t-
9)( или это значит, что 9? есть подмножество 9t - (SK - Ж) - Ж.
Если 91 есть подмножество Ж, то мы будем для F = P% и Е = Ащ говорить,
что F есть часть от Е и символически записывать это в Виде E>F или F^=E.
(Такая запись, следовательно, означает, что EF = F, или, что то же, FE =
F, и как следствие, что Е, F коммутируют. Рассмотрением Ж, 9? или же
прямой выкладкой можно убедиться, что всегда справедливо: 0=gEsgl; из B^F
и F^E следует E=F\ из E-^F, F?==G следует ?< О. Наш знак ^ обладает,
таким образом, свойствами "упорядочения по величине". Следует заметить
дальше, что три утверждения: E<F. 1-1-F или Е ортогонален к 1-F,
эквивалентны друг другу. Кроме того, ортогональность Е', F' следует из
ортогональности Е, F, если Е'<Е и F'^F.) Если 5Ш и 9? ортогональны, мы
говорим, что Е и F также ортогональны. (То есть это значит, что EF = 0
или также FE = 0.) Напротив, если Е, F коммутируют, мы будем говорить,
что соответственные 5Ш, 9? также коммутируют.
Теорема 15. Утверждение E^F эквивалентно тому, что всегда справедливо
||Е'/||:<||/:'/||.
Доказательство. Из Er==F следует, что F - EF, следовательно, \\Ef\\ =
\\EFf\\ || Ff\\ (ср. теорему 13.). Обратно, это
соотношение имеет следующее следствие: если Ff = 0, то \\Ef\\
|| -А/1| = 0, Ef - 0 и из-за F(\ -F)f = (F - Е2) / = 0 получаем
тождественно ?(1-F) f = 0, т. е. ?(1 - Е) = Е- EF - 0, E - EF,
следовательно EgSE.
Теорема 16. Пусть Ех Ek суть проекционные операторы. Тогда Ej-I- ... -\-
Ek будет проекционным оператором тогда и только тогда, когда все Ет, Ег
(т, 1=1, ..., k, т ф I) взаимно ортогональны. Другое необходимое и
достаточное условие - это
l|?i/ll2+ ••• + ЦЕ*/Ц2=з Ц/112
(для всех /). Более того, ^1ж-|- ... -\-Ek (Е\==Рт^ ... .... Ек - Р,м)
есть в этом случае оператор проектирования
5*
68 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
в SWj -f- ... -f-Stfij = [SWj, .... которое в данном случае
равно {Ш?!.....ЭЯ*}-
Доказательство. Последнее утверждение доказывается повторным применением
теоремы 14. . Отсюда же следует достаточность первого критерия. Если
выполнен второй критерий, то то же справедливо относительно первого: Для
т ф I, Emf = / будет
ll/ll2+ l|?[/ll2= 11^/112+ НВД2^ l|?i/ll2+ •..
... +l|?*/ll2=i ll/ll2. 1|?г/Н2 = о. ?if = 0.
Поскольку, однако, Em(Emf) = Emf выполняется тождественно, то El{Emf) =
0, т. е. Е1Ет = 0. Наконец, второе условие необходимо: Если ?\+ ... ~\~Ек
- проекционный оператор, то (теорема 13.):
над2+... + над2=(?,/, л+ ... +(?*/. л=
= ((?,+ ... + ?*)/,/) = !!(?,+ ... +?t)/||2^||/||2. Имеем таким образом
следующую логическую схему:
Ei Ц- ... Ek есть проекционный оператор -> второй критерий ->
-> первый критерий -> ?j + ... + ?* есть проекционный оператор
т. е- все три утверждения эквивалентны.
В заключение мы докажем еще теорему о сходимости проекционных операторов:
Теорема 17. Пусть Ev Е2, ... есть возрастающая или убывающая
последовательность проекционных операторов:
••• или ^i = ^2- ••• Такая последовательность сходится к проекционному
оператору Е в том смысле, что для всех / Enf->Ef\ и при этом все Еп^Е,
или Еп^Е соответственно.
Доказательство. Достаточно исследовать второй случай, поскольку первый
может быть сведен к нему заменой Ev Е2, .... Е на 1-Ej, 1-Е2, 1-Е. Пусть
поэтому Е1^Е2^ ...
В силу теоремы 15. ЦЕд/H2?: ЦЕд/|| ^ ... 0. Следова-
тельно, существует lim |[Ет/|[2. Это значит, что для каждого е>0
т-+оо
существует N = N (е) такое, что для т, l^N будет ||Ет/||2 - - I|?i/ll2<e-
Далее, для m^gl, Em^Ev Ет - Et есть проекционный оператор, и, значит,
li^m/ll2- \\Elf\\2 = (Emf> f) i^lf' /) = ((Ет-Ег)/, /) =
= \\{Em-El)fr=\\Emf-Elf\\\
S]
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
69
откуда следует, что \\Emf- Z^/H < ]/е. Последовательность EJ, E2f, ...
удовлетворяет, таким образом, критерию сходимости Коши и имеет поэтому
предел /* (D. из II. 11). Следовательно, Ef - f* определяет оператор,
всюду имеющий смысл.
Из (Enf, §•) = (/, Eng) получается после перехода к пределу, что (Ef, g)
- (f, Eg), из (EJ, Eng) - (Enf, g) следует, что (Ef, Eg) - (Ef, g),
значит, (E2f, g) - (Ef, g) и E2 = E. Таким образом, E есть проекционный
