Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
оператор, то и 1-Е тоже, и, поскольку 1-(1-Е) = Е, то и обратное
заключение верно.
Теорема 13. Всегда \\Ef\\2 = (Ef, /), ЦЕ/Ц ^ ||/||,
НЛЯ1=0 или = 11/11 характеризует / из 94- 24 и из 24 соответственно.
Замечание. В частности, отсюда следует, что
\\Ef-Eg\\ = \\E{f-g)\\^\\f-g\\,
т. е., что оператор Е непрерывен (ср. дискуссию после теоремы 2. в II.
1).
Доказательство. Мы имеем (ср. дискуссию после теоремы. 11.)
\\Ef\\2 = (Ef, Ef) - (Ef, /).
Поскольку 1-Е также проекционный оператор, то
1|?/Н2+ ||/-?/||2- 1ЮТ+ 11(1 -?)/II2-
= (?/. /) + ((!-?)/. /) = (/. /)= II/II2-
Поскольку оба слагаемых (слева) ^0, они также оба sg||/||2 и,
4]
ЗАМКНУТЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
65
в частности, ||?/||2^ ||/||2, ||?/|| ^ ||/||. То, что ||?/|| = 0, Ef = О,
выражает тот факт, что / принадлежит к 9t-9Я, нам известно из теоремы 11.
Вследствие вышеприведенного jjf/jj = ||/|| означает, что ||/ - ?/||=0, Ef
- f\ итак, по теореме 11. / принадлежит к ЗЯ.
Если R и 5 - два оператора, то мы понимаем под R ± S, aR (а - комплексное
число), RS операторы, определяемые соотношениями (R ± 5)/ = Rf ± 5/,
(aR)f=a-Rf, (RS)f=R(Sf), и
пользуемся также следующим естественным обозначением:
я°= 1, Ri = R, R2=RR, R3 = RRR,...
Правила исчисления, справедливые в этом случае, довольно просты и
естественны. Для R ± S, aR легко показать справедливость всех
элементарных законов счета, справедливых для чисел, но это не так для RS.
Легко показать, что выполняется дистрибутивный закон (R ± 5) Т - RT ± ST
и R (S ± Т) - RS ± RT (для последнего необходима, конечно, линейность R\
см. замечание к теореме 11. и обсуждение в следующем параграфе).
Ассоциативный закон также имеет место: (RS) Т = R (ST) = RST, но
коммутативный закон RS = SR, вообще говоря, не справедлив ((RS) / = R(Sf)
и (SR) f = S (Rf) не обязаны быть равными друг другу!). Если этот закон
выполняется для двух частных R и S, говорят, что они коммутируют. Так,
например, 0 и 1 коммутируют со всеми R, определенными повсюду:
Я0 = 0Я = 0; Rl = lR = R.
Также коммутируют Rm и Rn, поскольку RmRn = Rm+n и, следовательно,
не зависит от порядка т, п.
Теорема 14. Пусть Е и F- проекционные операторы
замкнутых линейных многообразий 9)( и Ш. Тогда ЕЕ будет также
проекционным оператором тогда и только тогда, когда Е и F коммутируют, т.
е. если EF = FE. Притом EF относится к замкнутому линейному множеству
которое состоит из элементов, общих множествам 9)( и !Я. Оператор E~\-F
будет проекционным тогда и только тогда, когда EF = О (или, что то же, FE
- 0). Это означает, что все 9)( ортогонально ко всему 31, E~\-F тогда
относится к -j- 51? = 31],
которое в данном случае = {93i, Щ. Оператор Е - F является проекционным
тогда и только тогда, когда EF = F (или, что то же, FE=F). Это означает,
что 3f есть подмножество ЗК, и Е-F относится к 9)(-3f.
Доказательство. Надо проверить, выполняются ли для EF два условия теоремы
12.:
(EFf, g) = (f, EFg) и (EF)2 = EF.
5 И. Нейман
66
ОБЩИН СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Поскольку (EFf, g) = (Ff, Eg) = (f, FEg), то первое условие означает, что
(/, EFg) = (/, FEg), (/, (FE -EF)g) = 0.
Поскольку это выполнено для любых /, то (EF - FE)g = 0, и поскольку
последнее выполняется для любых g, то EF - FE = 0; EF = FE. Итак,
коммутативность необходима и достаточна уже для выполнения первого
условия, однако и выполнение второго следует из нее:
(ЕР)2 = ЕРЕР = ЕЕРР = Е2Р2 = ЕР.
Так как Е-{-Р удовлетворяет первому условию ((Е F) f, g) = = (f, (E-{-
F)g) всегда (поскольку ему удовлетворяют Е, Р), нам остается доказать
только второе. Так как
(Е + F)2 = Е2-\- F2-{-EF-{- FE = (E-\- /=).+ (EF~\- FE),
то остается показать, что ЕР РЕ = 0. Далее при EF = 0, EF есть
проекционный оператор и, так как по доказанному тогда ЕР=РЕ, то ЕР FE -
0. Обратно, из ЕР-\- FE - 0 следует, что
Е (EF + FE) = E2F + EFE = EF + EFE = 0,
Е (EF + FE) E = EFFE + EFE2 = EFE + EFE = 2 ¦ EFE = 0,
следовательно, EFE = 0, и, следовательно, PE = 0. Таким образом, условие
ЕР = 0 необходимо и достаточно или, так как Е и F играют одну и ту же
роль, FE = 0 - также необходимое и достаточное условие. Е - F есть
проекционный оператор тогда и только тогда, когда 1-(Е - /7) = (1-Е)-{-Р
является тоже проекционным оператором, и поскольку 1 - Е и F являются
таковыми, то в силу доказанного (1-Е)Р = 0, или F - EF = 0, EF = F есть
условие того, что 1-(Е - F), а значит Е - F есть проекционный оператор
(равным образом Д(1-Е) = 0, F - FE = 0, РЕ = Р.
Нам еще осталось доказать утверждения относительно 9Д, Щ (Е = Р>м, F =
Psr)¦ Положим сперва ЕР = РЕ. Тогда каждый EFf = FEf принадлежит и к 1 и
к 51, а следовательно к 9(5, и для каждого g из 9(5 Eg - Fg = g,
следовательно EFg = Eg = g, т. e. каждый элемент ^ представим в виде EFf.
Соответственно 9|$ есть множество значений ЕР и, значит, по теореме 11.
EF = P>$. Затем положим ЕР = 0 (значит, РЕ= 0 также). Каждый (f-f-/7) f -
= Ef -f- Ff принадлежит к {9ЭТ, 3?} и каждый g из {ЭЯ, 3?} равен h-\-j, с
