Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 24

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 145 >> Следующая

из SJt его проекцию в 3W, Яда/. В следующем разделе мы определим понятия
оператора. Оператор R есть функция, определенная на подмножестве из 9t со
значениями из 9t, т. е. соответствие, которое сопоставляет определенному
/ из SR определенный Rf из SJt (Не обязательно каждому /. Для некоторых /
из SJt операция может быть не определена, т. е. "бессмысленна"!). Я(r)
есть, таким образом, оператор, определенный повсюду в SR и называемый
оператором проектирования в Ш.
Теорема 11. Оператор Я(r) обладает следующими свойствами:
Я(r)(ai/i+ ... -f-anfn) - aPmfi + ••• + anPmf n,
(Pmf • g) = (f> Pmg).
Яда (Яда/) = Яда/.
2W- это множество всех значений Яда, т. е. множество всех Яда/; но оно
может быть так же охарактеризовано, как множество всех решений уравнения
Яда/ = /, в то время как SJt- SW- это множество всех решений уравнения
Яда/= 0.
Замечание. В следующих разделах мы увидим, что первое свойство определяет
так называемые линейные операторы, а второе- так называемые эрмитовы
операторы. Третье выражает то, что двукратное применение оператора Яда
приводит к тому же, что и однократное. Обычная символическая запись этого
есть ЯдаЯда = Яда ИЛИ Яда = Яда.
Доказательство. Из того, что
f 1 = gi~{- hi< ••¦> fn - gn-phn (g! gn ИЗ Ш, hx hn из SR - 3W)
следует, что
al/l+ • • • anf n - (a\g\~\~ ¦ ¦ ¦ +ал?Гл) + (а1Л1+ • • • + алЛл)
••• +angn ИЗ 2W. fliAj-f- ... -\-a^hn из 3t -?W),
")
ЗАМКНУТЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
63
Таким образом,
... anfn)= a\g\~Ь ••• -\~апёп =
= alPmfl anPmfn>
и первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения положим
f = g'-\-h', g - g"-\-h" (g1, g" из Ш, Н', h" из 5ft - Ш).
Поскольку тогда g', g" ортогональны к h', h", то, следовательно,
(*'. g) = (g'- g" + h") = (g', g") = (g' + h', g") = (f, g"),
т. e. (Pmf, g) = (/, Pmg) и второе утверждение доказано.
Наконец, Pmf принадлежит к 9И, и, следовательно, P,Mf = Pmf + О есть
разложение P,Mf на компоненты, существующее в силу теоремы 10., т. е. Рш
(Р,д/) = Pmf. Это третье утверждение теоремы.
Формула P.Mf = / или 0 означает, что в разложении f = g-\-h, g- из 9И, h
- из 9t - SK (теорема 10.) или f = g, h = 0, или ? = 0, / = А; т. е. что
/ принадлежит или 5ft - 5JJ. Это пятое и шестое утверждения теоремы. Все
Pmf принадлежат к 1 по определению, и каждое /' из равно какому-либо
Pmf'- например, по только что сказанному, оно равно Pmf - Это четвертое
утверждение теоремы.
Заметим еще, что из второго и третьего утверждений следует, что
(Pmf, Pmg) = (/. PmPmg) = (/. Pmg) = (Pmf - g)-
Мы хотим определить теперь проекционные операторы независимо от SDf.
Теорема 12. Оператор Е, определенный повсюду (ср. обсуждение,
предшествующее теореме 11.), есть проекционный оператор, т. е. Е - Рт для
некоторого замкнутого линейного многообразия Ш, если и только если он
обладает следующими свойствами:
(?/> g) = (f. Eg), В = Е.
(См. замечание к теореме 11.) В этом случае 2)f однозначно определяется
по Е (согласно теореме 11.).
Доказательство. Необходимость указанных условий, так же как и то, что 2)f
определяется оператором Е, следует из теоремы 11.. Мы должны,
следовательно, лишь показать, что, если Е обладает такими свойствами, то
существует замкнутое линейное многообразие 2)f с Е - Рт-
Пусть Ш есть замкнутое линейное многообразие, натянутое на все Ef. Тогда
g - Eg ортогонален ко всем Ef:
(Ef.g- Eg) = (Ef, g) - (Ef, Eg) = (Ef, g) - (?2/, g) = 0.
64
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА . ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Множество элементов из 94, ортогональных к g - Eg, образует замкнутое
линейное многообразие; следовательно, вместе с Ef оно включает в себя 24,
и, значит, g - Eg принадлежит к 94- 24. Разложение g по отношению к 24 в
смысле теоремы 10. есть, следовательно, g = Eg -\- (g - Eg), и, значит,
P,mg = Eg для произвольного g. Таким образом, вся теорема доказана.
Если 24 = 94 или =[0], то 94- 24 = [0] или 91 соответственно, значит,
разложение по теореме 11. есть f = f-1-0 или =0-|-/, отсюда Рш/ = / или
равно 0 соответственно. Мы назовем единичным, 1, оператор, определенный
(повсюду!) как Rf = /, и нулевым, 0, оператор, определенный как Rf = 0,
т. е. Ля - 1, Л<>] = 0. Далее очевидно, что разложение f=g-\-h(g из 24, h
из 94- 24) по отношению к 24 может также употребляться по отношению к 94-
24 в форме f = h-\-g (h из 94-24, g из 24). (Ибо, если g принадлежит 24,
то он ортогонален каждому элементу 94-24 и, следовательно, принадлежит к
94-(91-24).) Итак, P,mf - g, Ля-аи/ = = h = f - g, т. e. P&-mf = f - Pmf
• Это обстоятельство Ля-зю/ = = 1/ - Pmf мы выразим символически в виде
-Рш.
(О сложении, вычитании и умножении операторов см. теорему 14. .) Нужно
заметить еще следующее; Мы уже обнаружили без труда, что 24 есть
подмножество от 94- (94-24). Непосредственно показывать, что оба
множества совпадают, было бы кропотливо. Однако
это немедленно следует из того, что
Ля-ся-шу =1 - Ля-ш 1 - (1 - Лм) : Ли-
Белее того, из предыдущего замечания следует, что если Е-проекционный
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed