Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 22

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 145 >> Следующая

и, 7J, ^(1),х;(л), ^;(л)...............^л>.
Если мы расставим их в порядке возрастания сумм
и+?]+*'(1>+|^(1>|+ ... +h;(I>|+ ... +*Дл,+
+1^(л)|+ ... +|^(л>|.
то мы получим простую последовательность, в точности так, как в
предыдущем случае линейных комбинаций функций.
Прежде чем продолжать, ответим на следующий вопрос: Дано Я,
удовлетворяющее А. - Е. (с в каких подмножествах [ЭД из 9t
А. - Е. снова удовлетворяются (с теми же определениями о/, fig
и (/. g))?
Чтобы выполнялось А., ЗЭТ должно быть линейным многообразием. В.
справедливо само по себе. Отложим на время С.: во всяком случае или
С(п)., или С(оо). имеют место. D. означает: если последовательность в 2>i
удовлетворяет критерию сходимости Коши, то она имеет предел в 9Й.
Поскольку эта последовательность во всяком случае имеет свой предел в 9t,
то D. означает просто, что этот предел должен принадлежать 33J. Это
значит, что должно быть замкнутым. Условие Е., как мы убедились при
доказательстве теоремы 9., выполняется всегда. Следовательно, мы можем
суммировать результат: 9J? должно быть замкнутым линейным многообразием.
Обратимся к ортонормированной системе, растягивающей (теорема 9.), ср],
ср2, ... Если она бесконечна, то, очевидно, имеет место С;оо). и ЗЭТ
изоморфно 9^, т. е. самому 91; если она заканчивается некоторым срл, то
имеет место (например, как следствие теоремы 3(л).) С(л)., т. е. SDJ
изоморфно 91".
Но поскольку D. и Е. имеют место в 99J во всяком случае, значит они
справедливы в каждом 9t". Значит, они также следуют из А, - &п\ .
Как видно, мы избежали прямой проверки выполнения свойств А.-Е. (с С(п\
или С(оо)) в 91" или 91^ за счет искусственных логических доводов. Однако
и непосредственное установление этих свойств не представляет существенных
затруднений. Предоставим это доказательство читателю.
Остается еще показать, что D. и Е, независимы от А. - С(ос>.. Как мы
только что видели, любое линейное многообразие в 31 удовлетворяет А., В.,
Е. и С|л>. или С(оо).; но если оно не замкнуто, то D. не выполняется. В
этом случае в нем должно иметь место С(ос)., поскольку из С(л>. прямо
следует D.. Нетрудно теперь привести при-
3]
ОТСТУПЛЕНИЕ: ОБ УСЛОВИЯХ А. - Е,
59
мер такого незамкнутого линейного множества. Пусть cplf ср2, ... есть
xv .... xN произвольны) образуют линейное многообразие, однако
Рассмотрим далее все комплексные функции х (а) с непрерывным параметром
а: -oo<a<-f-oo. Кроме того, предположим, что х(а)фО возможно записать в
виде последовательности такой, что
ности, будет конечной55). Все функции л:(а) образуют пространство
Sftcont- Поскольку для любых двух функций х (а), у (а) этого пространства
л: (а) или у(а)фО только для двух а-последовательно-стей и поскольку мы
можем объединить эти две последовательности в одну, то х (а) = у (а) = 0
везде, кроме некоторой а-последова-тельности aj, a2, ... Следовательно,
мы должны обсудить только значения хп = х(ап), ул = у(ал) для всех п- 1,
2, ... Поэтому, пока мы рассматриваем только две точки 9tCont> все будет
происходить так же, как и в Sftoo- Но значит А. и В., выполняются в
9tCont в точности так же, как и в Sftco 56). То же будет справедливо и
для k(k= 1, 2, ...) точек SRcont, поэтому С(со). также имеет место в
SRCont-Более того, все остается верным даже для последовательности точек
Sftcont- Рассмотрим лг, (а), л:2(а), . .., причем а, для которых хп(а)фО,
образу4от последовательность для каждого п= 1, 2, .. .: а^л>, а^л>, ...
Эти последовательности образуют все вместе двойную последовательность
а(л* (я, т= 1, 2, ...), которая может быть записана как простая
последовательность a*1), а^>, afK aj,1), а(r), а(r), . .. Следовательно, и D.
выполняется в 9tCont так же, как и в SRa,. Иначе обстоит дело с Е.. В
этом случае играют роль все точки (ведь все они должны быть предельными
точками соответствующих последовательностей), и поэтому мы не можем
делать заключение о SRCont на
65) Хотя а и меняется непрерывно, это будет сумма, а не интеграл,
поскольку ведь в сумме фигурирует только некоторая последовательность
этих a!
6в) Естественным образом мы определяем (х (а), у (а)) как 2 •* (а) У
("¦)¦
N
ортонормированная система, тогда элементы 2 (N=1, 2, ...;
V=1
незамкнутое, потому
является пре-
дельной точкой, но не элементом множества
N
Следовательно, D. не зависит от А. - С(со). и Е..
сумма 2 Iх (а) |2> распространенная по членам этой последователь-
a
60
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
основании SRoq. И это условие действительно не выполняется, потому что не
будет справедливым одно из его следствий: существует орто-нормальная
система, которая не может быть записана как последовательность (вопреки
теореме 3<сс).).
Пусть
(1 для а = р 1
Х<? ^ | 0 для а Ф р } '
для каждого (3 лгр(а) будет элементом SRCOnt> и лгр (а) образуют
ортонормированную систему. Но в виде последовательности
их можно
было бы записать, только если бы это было возможно для всех -j-oo>(3> -
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed