Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Назовем классом О класс всех функций g - g(qx, qk), для которых множество
всех точек, где gф0, имеет конечную меру и которые удовлетворяют во всем
пространстве неравенству | g | с произвольным, но фиксированным С. Все
определенные выше fN принадлежат О. Следовательно, G всюду плотен в Fs.
Пусть g принадлежит G и е > 0. Пусть мера множества, где g=F 0, есть М, а
верхняя граница | g-1 есть С. Выберем цепочку рациональных чисел - С < р,
< р2 < ... < р, < С таким образом,
чтобы было р, < -С-(- е, р2 < pj -{- s р, < р/,_1 -[- s, С < р^Д-е,
что легко может быть сделано. Заменим теперь каждое значение RefTfap •••>
Як) на ближайшее р4 (s=l, 2, . . ., t), оставляя лишь нуль по-прежнему
нулем. Тогда мы получим некую новую функцию hl(ql, ..., qk), которая
повсюду отличается от Reg- меньше чем на е. Точно так построим h2 (qv
..., qk) для Im g. Тогда для h = hl-\-ih2 имеем
J | g-h\2= f |Re?-^|2+ J |1т^-Л2|2^Ме2Ч-Ме2=2Ме2,
a q s
Hg - hH<y2Me.
Если дано 8 > 0, то положим е<--и тогда ||g- - h\\ <8.
У 2М
Назовем классом Н класс всех функций h = h (qv . .., qk), которые
принимают только конечное число различных значений, - именно лишь
значения вида р -(- /а, где р и а - рациональные числа,- и каждое такое
значение, кроме нуля, лишь на множестве конечной меры. Построенные выше h
принадлежат классу Н и, следовательно, Н всюду плотен в О, а
следовательно также и в Fs.
Пусть П - множество с конечной мерой Лебега. Определим функ цию /п=-/п(^,
.... Як)'
1 в П,
0 всюду, кроме П.
56 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Класс И, очевидно, состоит из всех
t
2 (Рл+^)/п (* = 1, 2, pJt о рациональны).
¦s = I 5
Найдем теперь последовательность П-множеств П(1), П(2), ... со следующим
свойством: Для каждого П-множества и для каждого е>0 существует П(п)
такое, что мера множества всех точек, принадлежащих П, но не П(п), или
принадлежащих П(п), но не П (такое множество называют разностью множеств
П и П(п)), меньше е. Если мы имеем такую последовательность, то
совокупность элементов вида
,?,(р*+Ч)/пю
(?=1. 2 pf и as рациональны, ns- 1, 2, ...) всюду плотна
в Н: Действительно, если мы выберем для каждого свое соответственно
предыдущему рассуждению, то
f s (Ps+Ч) fns - 2 Ч+4) / (",:
8 5=1 5=1
t
^2 f I 4 + 4) fus - (P, + 4) / (",) I2 =
S- 1 2
=S(ph"s Л /".-/"wi !=
5=1 2
t t
= 2 Ч °2) • (мера разности множеств Пл и П(п$)) < 2 Ч °Э ' в•
5=1 5=1
Если задано некоторое 8 > 0, то уже
2ЧЧ°Э
5=1
дает нам
2 (р,+ч) fns - 2 (р, + Ч) /п(",) I <ь-
t
Но элементы 2(Рл"ЬЧ)/ (п) образуют последовательность, если
.5=1 s>
мы их соответствующим образом упорядочим. Это можно сделать
3]
ОТСТУПЛЕНИЕ: ОБ УСЛОВИЯХ А. - Е.
57
следующим образом. Обозначая общий знаменатель всех р1Р Ор ... .... Рр at
через т, а новые числители через р|, о| р', о', получим
t
Т 2 (Р. + К) /п(",)-
S= 1
где /, т= 1, 2, ...; р', о'= О, ±1, ± 2, ..., ns= 1, 2, ... для
s=l, 2......../. Задача упорядочения этих функций в последова-
тельность сводится к упорядочению их целочисленных номеров /, т, pj, о|,
..., р', о', пг ..., пг Среди этих комплексов чисел сгруппируем вместе
те, для которых положительное целое
I - t-Ьх+1 р! | + • • • -Ь1 р* | Н-1 °'t j Н- + • • • + nt
имеет одно значение. Затем расставим эти группы в порядке возрастания
значения индекса группы /. Каждая из этих групп (с фиксированным /)
состоит, очевидно, из конечного числа рассматриваемых комплексов. Если мы
теперь расставим элементы в каждой из этих конечных совокупностей каким-
либо образом, то мы в самом деле получим простую последовательность всех
указанных комплексов.
Чтобы иметь возможность описать введенную последовательность множеств
П(1), П(2), ..., воспользуемся тем, что для каждого множества П с
конечной мерой Лебега М и для каждого 8 > 0 существует открытое точечное
множество П', покрывающее П, но мера которого превосходит М на величину <
8 (см. литературу, указанную в прим. 52) на стр. 51, а также 45) на стр.
41, где определяется понятие "открытого точечного множества"). Но для
каждого открытого П' и 8 > 0, очевидно, существует множество П",
состоящее из конечного числа кубов, содержащееся в П', и мера которого
отличается от меры П' на величину < 8. Ясно, что все длины ребер этих
кубов и все координаты их центров могут быть выбраны рациональными.
Теперь легко видеть, что разностное множество П и П", определенное выше,
имеет меру <8-)-8 = 28 и, следовательно, для
8 < ~ меру < s. Поэтому мы достигнем цели, если сумеем упорядочить в
последовательность совокупности описанных выше кубов.
Эти совокупности кубов характеризуются числом кубов п= = 1, 2, . . .,
длиной ребер куба x<v> и координатами центральных точек
S(1V)...^v) (v=l, 2, ..., и). Числа x<v>, рациональны.
Пусть их общий знаменатель (для всех v = 1, 2, ..., п) есть т\ = = 1, 2 а
их числители суть
x'(v)=l, 2
е'М
П
s;(v) = o, ±1, ±2,
58
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. И
Следовательно, совокупности кубов характеризуются комплексами чисел
